Méthode du parallélogramme : Technique graphique pour additionner deux vecteurs en construisant un parallélogramme.
- Tracer les deux vecteurs à additionner avec la même origine
- Construire le parallélogramme en complétant les côtés opposés
- Tracer la diagonale du parallélogramme
- La diagonale représente la somme vectorielle
- Calculer la norme et la direction du vecteur résultant
Méthode du parallélogramme
• \(\vec{R} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 250 \\ -150 \end{pmatrix}\)
• \(\|\vec{R}\| = \sqrt{250^2 + (-150)^2} = \sqrt{62500 + 22500} = \sqrt{85000} \approx 291.5\)
• Le vecteur est orienté à environ -31° par rapport à l'axe des x
• L'angle est mesuré dans le sens trigonométrique (positif dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)
Placer les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) avec la même origine.
Compléter les côtés opposés pour former le parallélogramme.
La diagonale du parallélogramme représente le vecteur somme.
\(\vec{R} = \begin{pmatrix} 250 \\ -150 \end{pmatrix}\) avec \(\|\vec{R}\| \approx 291.5\) et \(\theta \approx -31°\)
• Origine commune : Les deux vecteurs doivent avoir la même origine
• Parallélogramme : Les côtés opposés doivent être parallèles et égaux
• Diagonale : La diagonale passant par l'origine est la somme vectorielle
Décomposition : Processus consistant à exprimer un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de base.
- Identifier le repère orthonormé (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\))
- Projeter le vecteur sur chaque axe du repère
- Calculer les projections algébriques
- Exprimer le vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de base
- Calculer la norme et les angles directeurs
Décomposition d'un vecteur
• \(V_x = \|\vec{V}\| \cos(\theta) = 250 \times \cos(37°) = 250 \times 0.799 \approx 200\)
• \(V_y = \|\vec{V}\| \sin(\theta) = 250 \times \sin(37°) = 250 \times 0.602 \approx 150\)
• Mais dans notre cas, \(\vec{V}\) est dirigé vers le bas, donc \(V_y = -150\)
• \(\vec{V} = 200\vec{i} - 150\vec{j} + 0\vec{k}\)
• \(\vec{V} = \begin{pmatrix} 200 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}\)
• Vérification : \(\|\vec{V}\| = \sqrt{200^2 + (-150)^2 + 0^2} = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250\)
Déterminer la base orthonormée (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\)).
Calculer les projections du vecteur sur chaque axe.
Écrire le vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de base.
Vérifier que la norme du vecteur décomposé est correcte.
\(\vec{V} = \begin{pmatrix} 200 \\ -150 \\ 0 \end{pmatrix}\) avec \(\|\vec{V}\| = 250\) et direction \(\theta = -36.87°\)
• Orthogonalité : Les vecteurs de base doivent être orthogonaux entre eux
• Unité : Les vecteurs de base doivent être unitaires
• Orientation : Respecter le sens des axes du repère
Composition de forces : Processus d'addition de plusieurs forces pour déterminer la force résultante.
- Identifier toutes les forces agissant sur le point matériel
- Décomposer chaque force en composantes
- Sommer les composantes selon chaque axe
- Calculer la résultante et sa direction
- Vérifier les conditions d'équilibre si nécessaire
Composition de trois forces
| Force | Nom | Norme (N) | Angle (°) | Composante x (N) | Composante y (N) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\vec{F_1}\) | Force 1 | 100 | 30 | 86.6 | 50.0 |
| \(\vec{F_2}\) | Force 2 | 150 | 120 | -75.0 | 129.9 |
| \(\vec{F_3}\) | Force 3 | 80 | 225 | -56.6 | -56.6 |
| \(\vec{R}\) | Résultante | ? | ? | 86.6-75.0-56.6=-45.0 | 50.0+129.9-56.6=123.3 |
• \(\vec{F_2} = 150\cos(120°)\vec{i} + 150\sin(120°)\vec{j} = -75.0\vec{i} + 129.9\vec{j}\)
• \(\vec{F_3} = 80\cos(225°)\vec{i} + 80\sin(225°)\vec{j} = -56.6\vec{i} - 56.6\vec{j}\)
• \(\vec{R} = (86.6 - 75.0 - 56.6)\vec{i} + (50.0 + 129.9 - 56.6)\vec{j} = -45.0\vec{i} + 123.3\vec{j}\)
• Direction : \(\theta = \arctan\left(\frac{123.3}{-45.0}\right) = \arctan(-2.74) \approx -70.0°\)
• Correction : \(\theta = 180° - 70.0° = 110.0°\) (car \(R_x < 0, R_y > 0\))
Lister toutes les forces agissant sur le point et leurs caractéristiques.
Décomposer chaque force en composantes x et y.
Additionner les composantes selon chaque axe.
Déterminer la norme et la direction du vecteur résultant.
\(\vec{R} = \begin{pmatrix} -45.0 \\ 123.3 \end{pmatrix}\) N avec \(\|\vec{R}\| \approx 131.3\) N et \(\theta \approx 110.0°\)
• Composantes : Sommer les composantes de même direction
• Quadrant : Déterminer le bon quadrant pour l'angle de la résultante
• Unités : Conserver les mêmes unités pour toutes les forces
Méthode polygonale : Technique graphique pour additionner plusieurs vecteurs en les mettant bout à bout.
- Tracer le premier vecteur à partir d'un point origine
- Tracer le second vecteur à partir de l'extrémité du premier
- Continuer ainsi pour tous les vecteurs à additionner
- Tracer le vecteur résultant du point origine à l'extrémité du dernier vecteur
- Calculer la norme et la direction du vecteur résultant
Méthode polygonale
• \(\vec{u_3} = \begin{pmatrix} 60 \\ 40 \end{pmatrix}\), \(\vec{u_4} = \begin{pmatrix} 50 \\ -60 \end{pmatrix}\)
• \(\vec{R} = \vec{u_1} + \vec{u_2} + \vec{u_3} + \vec{u_4} = \begin{pmatrix} 100+70+60+50 \\ -50-30+40-60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 280 \\ -100 \end{pmatrix}\)
• \(\|\vec{R}\| = \sqrt{280^2 + (-100)^2} = \sqrt{78400 + 10000} = \sqrt{88400} \approx 297.3\)
• Associativité : On peut grouper les vecteurs par sous-sommes
• Visualisation : Méthode très utile pour comprendre la composition
• Précision : Moins précise que les méthodes analytiques
Placer le premier vecteur à partir d'un point origine arbitraire.
Placer chaque vecteur suivant à partir de l'extrémité du vecteur précédent.
Tracer le vecteur reliant l'origine au point final du polygone.
Calculer la norme et la direction du vecteur résultant.
\(\vec{R} = \begin{pmatrix} 280 \\ -100 \end{pmatrix}\) avec \(\|\vec{R}\| \approx 297.3\) et direction \(\theta \approx -19.7°\)
• Enchaînement : Chaque vecteur suit le précédent bout à bout
• Origine : La résultante part de l'origine du premier vecteur
• Extrémité : La résultante arrive à l'extrémité du dernier vecteur
Équilibre statique : Situation où la somme des forces et la somme des moments sont nulles.
- Identifier toutes les forces agissant sur le solide
- Exprimer chaque force comme un vecteur
- Appliquer le principe fondamental de la statique
- Écrire les équations d'équilibre
- Résoudre le système d'équations
- Vérifier la solution obtenue
Équilibre statique
| Force | Origine | Extrémité | Composantes (N) | Norme (N) |
|---|---|---|---|---|
| \(\vec{P}\) | (0,0) | (0,-100) | (0, -100) | 100 |
| \(\vec{R_A}\) | (0,0) | (R_Ax, R_Ay) | (R_Ax, R_Ay) | ? |
| \(\vec{R_B}\) | (0,0) | (R_Bx, R_By) | (R_Bx, R_By) | ? |
| \(\vec{F}\) | (0,0) | (50, 30) | (50, 30) | 58.3 |
• \(\sum \vec{M_O} = \vec{0}\) : Somme des moments nulle
• Pour notre cas : \(\vec{P} + \vec{R_A} + \vec{R_B} + \vec{F} = \vec{0}\)
• En composantes : \(\begin{cases} R_{Ax} + R_{Bx} + 50 = 0 \\ R_{Ay} + R_{By} - 100 + 30 = 0 \end{cases}\)
• Exemple : \(R_A\) verticale, \(R_B\) horizontale
• Alors : \(R_{Ax} = 0, R_{By} = 0\)
• Équations : \(\begin{cases} R_{Bx} + 50 = 0 \Rightarrow R_{Bx} = -50 \\ R_{Ay} - 70 = 0 \Rightarrow R_{Ay} = 70 \end{cases}\)
• Résultats : \(\vec{R_A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 70 \end{pmatrix}\), \(\vec{R_B} = \begin{pmatrix} -50 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Lister toutes les forces extérieures agissant sur le solide.
Exprimer chaque force comme un vecteur dans un repère approprié.
Appliquer les équations d'équilibre : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) et \(\sum \vec{M_O} = \vec{0}\).
Résoudre le système d'équations pour déterminer les inconnues.
Vérifier que la solution vérifie les équations d'équilibre.
\(\vec{R_A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 70 \end{pmatrix}\) N et \(\vec{R_B} = \begin{pmatrix} -50 \\ 0 \end{pmatrix}\) N pour assurer l'équilibre.
• Complétude : Toutes les forces doivent être prises en compte
• Direction : Respecter les directions et sens des forces
• Unités : Conserver des unités cohérentes dans les calculs
- Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
- Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
- Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
- Élément opposé : \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)
- Distributivité : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
- La somme vectorielle conserve les propriétés de direction, sens et norme
- La norme de la somme n'est pas égale à la somme des normes
- Les composantes s'additionnent indépendamment selon chaque axe
- La résultante peut être nulle même si les forces individuelles ne le sont pas
- Vecteur nul : \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), absence de grandeur
- Vecteur opposé : \(-\vec{u} = \begin{pmatrix} -u_x \\ -u_y \\ -u_z \end{pmatrix}\), même norme, sens opposé
- Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si \(\vec{u} = k\vec{v}\)
- Linéairement indépendants : Trois vecteurs non coplanaires forment une base
- Repère orthonormé : Base avec vecteurs unitaires et orthogonaux
