Vecteur : Grandeur mathématique caractérisée par une direction, un sens et une norme (longueur).
- Identifier les coordonnées des points d'origine et d'extrémité
- Calculer les différences de coordonnées
- Exprimer le vecteur dans la base du repère
- Vérifier l'homogénéité des unités
- Représenter graphiquement si possible
Vecteur dans un repère orthonormé
• Point B : (x_B, y_B, z_B) = (7, 8, 0)
• Repère orthonormé : (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\))
• \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\)
• \(\vec{AB} = (7-2, 8-3, 0-0) = (5, 5, 0)\)
Déterminer les coordonnées des points A et B dans le repère.
Calculer les différences de coordonnées pour chaque axe.
Exprimer le vecteur dans la base du repère.
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) dans le repère (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\))
• Ordonnée : Les coordonnées du vecteur sont les différences des coordonnées des points
• Homogénéité : Les unités doivent être cohérentes entre les points
• Repère : Le vecteur s'exprime toujours dans une base donnée
Opérations vectorielles : Ensemble des opérations mathématiques que l'on peut effectuer sur des vecteurs.
- Addition : somme des composantes correspondantes
- Soustraction : différence des composantes correspondantes
- Multiplication scalaire : multiplication de chaque composante par un scalaire
- Produit scalaire : somme des produits des composantes correspondantes
- Produit vectoriel : calcul selon la règle du déterminant
Opérations vectorielles
| Opération | Formule | Exemple | Résultat |
|---|---|---|---|
| Addition | \(\vec{u} + \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) |
| Soustraction | \(\vec{u} - \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) |
| Multiplication scalaire | \(k\vec{u}\) | \(3 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}\) |
| Produit scalaire | \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(2 \times 1 + 3 \times (-1) + 1 \times 4 = 3\) |
| Produit vectoriel | \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 13 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}\) |
• Commutative : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
• Associative : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
• Distributive : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
• Associative : \((kl)\vec{u} = k(l\vec{u})\)
Déterminer quelle opération vectorielle doit être effectuée.
Appliquer la formule correspondante à l'opération.
Effectuer les opérations sur chaque composante du vecteur.
Opérations vectorielles effectuées correctement avec résultats conformes aux propriétés mathématiques.
• Composantes : Chaque opération s'applique composante par composante
• Dimension : Les vecteurs doivent avoir la même dimension pour les opérations
• Résultat : Le produit scalaire donne un scalaire, le vectoriel un vecteur
Norme d'un vecteur : Longueur du vecteur, mesurée par la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.
- Identifier les composantes du vecteur
- Calculer le carré de chaque composante
- Effectuer la somme des carrés
- Prendre la racine carrée du résultat
- Déterminer la direction par les angles directeurs
Norme et direction d'un vecteur
• Pour \(\vec{V}(3, 2, 0)\) : \(\|\vec{V}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.61\)
• Unité : dépend du contexte physique
• Pour \(\vec{V}(3, 2, 0)\) : \(\cos(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{13}}\), \(\cos(\beta) = \frac{2}{\sqrt{13}}\), \(\cos(\gamma) = 0\)
• \(\alpha \approx 33.7°\), \(\beta \approx 56.3°\), \(\gamma = 90°\)
Relever les valeurs des composantes x, y, z du vecteur.
Appliquer la formule \(\|\vec{V}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
Calculer les cosinus directeurs pour connaître la direction.
Pour \(\vec{V}(3, 2, 0)\) : \(\|\vec{V}\| = \sqrt{13} \approx 3.61\) et direction \(\alpha \approx 33.7°, \beta \approx 56.3°\).
• Positivité : La norme est toujours positive ou nulle
• Dimension : La norme a la même unité que les composantes
• Direction : Les cosinus directeurs vérifient \(\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1\)
Changement de repère : Transformation des coordonnées d'un vecteur d'un repère à un autre.
- Identifier les deux repères concernés
- Déterminer la matrice de passage entre les bases
- Calculer les angles de rotation entre les axes
- Appliquer la transformation vectorielle
- Vérifier l'orthogonalité de la matrice de passage
Changement de repère
• Pour θ = 26.6° : \(\mathcal{R} = \begin{pmatrix} 0.894 & -0.447 \\ 0.447 & 0.894 \end{pmatrix}\)
• \(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \mathcal{R} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
• \(\vec{V}_{\text{nouveau}} = \begin{pmatrix} 0.894 & -0.447 \\ 0.447 & 0.894 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)
• \(\vec{V}_{\text{nouveau}} = \begin{pmatrix} 4.47 \\ -0.71 \end{pmatrix}\)
Calculer l'angle entre les axes des deux repères.
Élaborer la matrice de rotation selon l'angle déterminé.
Multiplier la matrice de passage par le vecteur dans l'ancien repère.
Confirmer que la norme du vecteur est conservée par la transformation.
Vecteur \(\vec{V}(4,2)\) dans le repère (O, x, y) devient \(\vec{V'}(4.47, -0.71)\) dans le repère (O, x', y') avec θ = 26.6°.
• Orthogonalité : La matrice de passage doit être orthogonale
• Invariance : La norme du vecteur est conservée
• Orientation : Le sens de rotation doit être correctement déterminé
Application en statique : Utilisation des vecteurs pour modéliser les forces, moments et équilibre des solides.
- Identifier toutes les forces agissant sur le solide
- Exprimer chaque force comme un vecteur
- Appliquer le principe fondamental de la statique
- Écrire les équations d'équilibre
- Résoudre le système d'équations
- Vérifier la solution obtenue
Application en statique du solide
| Force | Point d'application | Direction | Valeur (N) | Vecteur |
|---|---|---|---|---|
| Poids | G | Vertical, ↓ | mg = 100 N | \(\begin{pmatrix} 0 \\ -100 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
| Réaction support | A | Perpendiculaire | R_A = 60 N | \(\begin{pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
| Force extérieure | B | Angle 30° | F = 50 N | \(\begin{pmatrix} 43.3 \\ 25 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
• Somme des moments : \(\sum \vec{M_O} = \vec{0}\)
• Pour notre exemple : \(\vec{P} + \vec{R_A} + \vec{F} = \vec{0}\)
• \(\begin{pmatrix} 0 \\ -100 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 43.3 \\ 25 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43.3 \\ -15 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\)
• Le système n'est pas en équilibre
Lister toutes les forces agissant sur le solide avec leurs caractéristiques.
Exprimer chaque force comme un vecteur dans un repère approprié.
Appliquer les principes fondamentaux de la statique (équilibre des forces).
Résoudre les équations d'équilibre pour déterminer les inconnues.
Les forces sont exprimées en vecteurs et les équations d'équilibre sont établies pour analyser la statique du solide.
• Complétude : Toutes les forces doivent être prises en compte
• Direction : Respecter les directions et sens des forces
• Unités : Conserver des unités cohérentes dans les calculs
- Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
- Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
- Distributivité : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
- Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)
- Produit vectoriel : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) \vec{n}\)
- Un vecteur ne dépend pas de sa position dans l'espace (libre ou glissant)
- La norme d'un vecteur est toujours positive ou nulle
- Les cosinus directeurs vérifient \(\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1\)
- La matrice de passage entre repères orthonormés est orthogonale
- Vecteur nul : Vecteur de norme nulle, \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
- Vecteur unitaire : Vecteur de norme 1, \(\vec{u} = \frac{\vec{V}}{\|\vec{V}\|}\)
- Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si \(\vec{u} = k\vec{v}\)
- Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
- Repère cartésien : Repère avec axes perpendiculaires et unités identiques
