Angles directeurs : Angles formés par un vecteur avec les axes d'un repère orthonormé.
- Identifier la norme du vecteur
- Déterminer les angles directeurs (α, β, γ)
- Calculer chaque composante avec la formule : Vi = ||V|| × cos(anglei)
- Vérifier la relation : cos²(α) + cos²(β) + cos²(γ) = 1
- Exprimer le vecteur dans la base du repère
Calcul des coordonnées vectorielles
• Angle avec axe x : \(\alpha = 60°\) → \(\cos(60°) = 0.5\) → \(V_x = 10 \times 0.5 = 5\) unités
• Angle avec axe y : \(\beta = 45°\) → \(\cos(45°) = 0.707\) → \(V_y = 10 \times 0.707 = 7.07\) unités
• Angle avec axe z : \(\gamma = 60°\) → \(\cos(60°) = 0.5\) → \(V_z = 10 \times 0.5 = 5\) unités
• La relation est vérifiée, les angles sont corrects
• Vérification de la norme : \(\sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} = \sqrt{25 + 50 + 25} = \sqrt{100} = 10\)
Relever la norme du vecteur et les angles directeurs.
Déterminer les cosinus des angles directeurs.
Multiplier la norme par chaque cosinus pour obtenir les composantes.
Vérifier la relation entre les angles et la norme du vecteur.
\(\vec{V} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7.07 \\ 5 \end{pmatrix}\) unités dans le repère (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\))
• Linéarité : Les composantes sont proportionnelles à la norme du vecteur
• Angles : La somme des carrés des cosinus directeurs vaut 1
• Repère : Le vecteur s'exprime dans une base orthonormée
Projection : Opération consistant à déterminer la composante d'un vecteur selon une direction.
- Identifier le vecteur à projeter
- Déterminer la direction de projection (axe)
- Calculer la projection avec le produit scalaire
- Représenter la composante sur l'axe
- Répéter pour chaque axe du repère
Projection d'un vecteur
| Grandeur | Valeur | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| Norme du vecteur | \(\|\vec{V}\| = 15\) | Donnée | 15 unités |
| Angle avec axe x | \(\theta_x = 30°\) | \(V_x = \|\vec{V}\| \cos(\theta_x)\) | \(V_x = 15 \times \cos(30°) = 12.99\) |
| Angle avec axe y | \(\theta_y = 60°\) | \(V_y = \|\vec{V}\| \cos(\theta_y)\) | \(V_y = 15 \times \cos(60°) = 7.5\) |
| Angle avec axe z | \(\theta_z = 90°\) | \(V_z = \|\vec{V}\| \cos(\theta_z)\) | \(V_z = 15 \times \cos(90°) = 0\) |
• Où θ est l'angle entre le vecteur et l'axe
• La composante est positive si le vecteur pointe dans le sens de l'axe
• La composante est négative si le vecteur pointe dans le sens opposé
• \(\vec{V} = 12.99\vec{i} + 7.5\vec{j} + 0\vec{k}\)
• \(\vec{V} = \begin{pmatrix} 12.99 \\ 7.5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
• Vérification : \(\|\vec{V}\| = \sqrt{12.99^2 + 7.5^2 + 0^2} = \sqrt{168.74 + 56.25} = \sqrt{224.99} \approx 15\)
Déterminer le vecteur à projeter et ses caractéristiques.
Appliquer la formule de projection pour chaque axe.
Écrire le vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de base.
Confirmer que la norme du vecteur décomposé est correcte.
\(\vec{V} = \begin{pmatrix} 12.99 \\ 7.5 \\ 0 \end{pmatrix}\) unités avec projections sur les axes x, y et z.
• Orthogonalité : Les vecteurs de base doivent être orthogonaux
• Unité : Les vecteurs de base doivent être unitaires
• Sens : Respecter le sens des axes du repère
Changement de repère : Transformation des coordonnées d'un vecteur d'un repère à un autre.
- Identifier les deux repères concernés
- Déterminer la matrice de passage entre les bases
- Calculer les angles de rotation entre les axes
- Appliquer la transformation vectorielle
- Vérifier l'orthogonalité de la matrice de passage
Changement de repère
• Pour θ = 26.6° : \(\mathcal{R} = \begin{pmatrix} 0.894 & -0.447 \\ 0.447 & 0.894 \end{pmatrix}\)
• \(\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \mathcal{R} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
• \(\vec{V}_{\text{nouveau}} = \begin{pmatrix} 0.894 & -0.447 \\ 0.447 & 0.894 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)
• \(\vec{V}_{\text{nouveau}} = \begin{pmatrix} 4.47 \\ -0.71 \end{pmatrix}\)
Calculer l'angle entre les axes des deux repères.
Élaborer la matrice de rotation selon l'angle déterminé.
Multiplier la matrice de passage par le vecteur dans l'ancien repère.
Confirmer que la norme du vecteur est conservée par la transformation.
Vecteur \(\vec{V}(4,2)\) dans le repère (O, x, y) devient \(\vec{V'}(4.47, -0.71)\) dans le repère (O, x', y') avec θ = 26.6°.
• Orthogonalité : La matrice de passage doit être orthogonale
• Invariance : La norme du vecteur est conservée
• Orientation : Le sens de rotation doit être correctement déterminé
Opérations vectorielles : Ensemble des opérations mathématiques que l'on peut effectuer sur des vecteurs exprimés en coordonnées.
- Addition : somme des composantes correspondantes
- Soustraction : différence des composantes correspondantes
- Multiplication scalaire : multiplication de chaque composante par un scalaire
- Produit scalaire : somme des produits des composantes correspondantes
- Produit vectoriel : calcul selon la règle du déterminant
Opérations vectorielles
| Opération | Formule | Exemple | Résultat |
|---|---|---|---|
| Addition | \(\vec{u} + \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) |
| Soustraction | \(\vec{u} - \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) |
| Multiplication scalaire | \(k\vec{u}\) | \(3 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}\) |
| Produit scalaire | \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(2 \times 1 + 3 \times (-1) + 1 \times 4 = 3\) |
| Produit vectoriel | \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) | \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 13 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}\) |
• Commutative : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
• Associative : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
• Distributive : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
• Associative : \((kl)\vec{u} = k(l\vec{u})\)
Déterminer quelle opération vectorielle doit être effectuée.
Appliquer la formule correspondante à l'opération.
Effectuer les opérations sur chaque composante du vecteur.
Opérations vectorielles effectuées correctement avec résultats conformes aux propriétés mathématiques.
• Composantes : Chaque opération s'applique composante par composante
• Dimension : Les vecteurs doivent avoir la même dimension pour les opérations
• Résultat : Le produit scalaire donne un scalaire, le vectoriel un vecteur
Application en statique : Utilisation des coordonnées vectorielles pour modéliser les forces, moments et équilibre des solides.
- Identifier toutes les forces agissant sur le solide
- Exprimer chaque force comme un vecteur
- Appliquer le principe fondamental de la statique
- Écrire les équations d'équilibre
- Résoudre le système d'équations
- Vérifier la solution obtenue
Application en statique du solide
| Force | Point d'application | Direction | Valeur (N) | Vecteur |
|---|---|---|---|---|
| Poids | G | Vertical, ↓ | mg = 100 N | \(\begin{pmatrix} 0 \\ -100 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
| Réaction support | A | Perpendiculaire | R_A = 60 N | \(\begin{pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
| Force extérieure | B | Angle 30° | F = 50 N | \(\begin{pmatrix} 43.3 \\ 25 \\ 0 \end{pmatrix}\) |
• Somme des moments : \(\sum \vec{M_O} = \vec{0}\)
• Pour notre exemple : \(\vec{P} + \vec{R_A} + \vec{F} = \vec{0}\)
• \(\begin{pmatrix} 0 \\ -100 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 60 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 43.3 \\ 25 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43.3 \\ -15 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \vec{0}\)
• Le système n'est pas en équilibre
Lister toutes les forces agissant sur le solide avec leurs caractéristiques.
Exprimer chaque force comme un vecteur dans un repère approprié.
Appliquer les principes fondamentaux de la statique (équilibre des forces).
Résoudre les équations d'équilibre pour déterminer les inconnues.
Les forces sont exprimées en vecteurs et les équations d'équilibre sont établies pour analyser la statique du solide.
• Complétude : Toutes les forces doivent être prises en compte
• Direction : Respecter les directions et sens des forces
• Unités : Conserver des unités cohérentes dans les calculs
- Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
- Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
- Distributivité : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
- Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)
- Produit vectoriel : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta) \vec{n}\)
- Un vecteur ne dépend pas de sa position dans l'espace (libre ou glissant)
- La norme d'un vecteur est toujours positive ou nulle
- Les cosinus directeurs vérifient \(\cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1\)
- La matrice de passage entre repères orthonormés est orthogonale
- Vecteur nul : \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), absence de grandeur
- Vecteur unitaire : \(\vec{u} = \frac{\vec{V}}{\|\vec{V}\|}\), norme égale à 1
- Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si \(\vec{u} = k\vec{v}\)
- Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
- Repère cartésien : Repère avec axes perpendiculaires et unités identiques
