Poutre isostatique : Structure en équilibre avec un nombre suffisant d'appuis pour équilibrer les forces.
- Isoler la poutre du système
- Identifier toutes les forces extérieures
- Appliquer les équations d'équilibre
- Calculer les réactions d'appui
Poutre simplement appuyée avec charge concentrée au milieu
Charge P au milieu, réactions \(R_A\) et \(R_B\) aux appuis
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\)
\(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times L - P \times L/2 = 0\)
De la deuxième équation : \(R_B = P/2\)
De la première équation : \(R_A = P - R_B = P - P/2 = P/2\)
Chaque appui supporte la moitié de la charge (symétrie)
Chaque appui supporte la moitié de la charge : \(R_A = R_B = P/2\)
• Équilibre : Somme des forces et moments nulle
• Symétrie : Pour une charge centrée, les réactions sont égales
• Isostatisme : 3 inconnues pour 3 équations → système déterminé
Grue de chantier : Structure mécanique complexe permettant de lever des charges lourdes à grande hauteur.
Grue avec contrepoids pour assurer la stabilité
Charge P à lever, poids de la grue W, réactions au sol
Moment de renversement : \(M_r = P \times L\)
Moment de stabilité : \(M_s = W \times d\) (d = bras de contrepoids)
\(M_s > M_r\) pour que la grue ne bascule pas
\(W \times d > P \times L\) donc \(W > \frac{P \times L}{d}\)
Le contrepoids doit vérifier \(W > \frac{PL}{d}\) pour assurer la stabilité
• Stabilité : Le moment stabilisant doit être supérieur au moment de renversement
• Sécurité : Coefficient de sécurité de 1.5 à 2.0 pour les grues
• Dimensionnement : Calculer les masses et distances pour assurer l'équilibre
Bras de levage : Système articulé permettant de soulever des charges à l'aide d'un vérin hydraulique.
Bras articulé avec vérin hydraulique et charge à soulever
Identifier les forces : charge P, effort hydraulique \(F_h\), réactions aux articulations
Par rapport au point d'articulation : \(F_h \times c \times \sin\theta = P \times a\)
\(F_h = \frac{P \times a}{c \times \sin\theta}\)
L'effort hydraulique dépend de la géométrie et de la position angulaire
L'effort hydraulique est \(F_h = \frac{P \times a}{c \times \sin\theta}\)
• Bras de levier : Plus le bras est long, plus l'effort est amplifié
• Hydraulique : Le vérin exerce une force qui compense le moment de la charge
• Position angulaire : L'efficacité varie selon l'angle θ
Structure métallique : Ensemble de poutres et de poteaux en acier formant la charpente d'un bâtiment.
Poids propre, charges d'exploitation, neige, vent, température
ELU (État Limite Ultime) : sécurité, ELS (État Limite de Service) : confort
Méthode des nœuds ou des sections pour les treillis
Calculer les contraintes maximales et comparer à la résistance de l'acier
Flèches admissibles pour éviter les dommages aux cloisons secondaires
La contrainte maximale est \(N_{max} = \frac{P_{total}}{A_{acier}}\) avec \(P_{total}\) combinée selon Eurocodes
• Eurocodes : Normes européennes pour le calcul des structures
• Sécurité : Coefficients partiels de sécurité sur les actions et matériaux
• Comportement : Tenir compte des effets dynamiques et thermiques
Panneau solaire motorisé : Installation photovoltaïque pouvant pivoter pour optimiser l'exposition au soleil.
Poids du panneau, force du vent, réactions d'appui
\(F_v = \frac{1}{2}\rho v^2 S C_x\) où ρ = densité de l'air, v = vitesse du vent, S = surface, Cₓ = coefficient de traînée
Moment de renversement dû au vent : \(M = F_v \times h\) (h = hauteur du centre de poussée)
Le moment stabilisant doit compenser le moment de renversement
Calculer le couple nécessaire pour faire pivoter le panneau malgré les efforts extérieurs
Le couple moteur doit compenser les efforts extérieurs : \(M_{moteur} = F_v \times h + P \times d\)
• Vent : Force proportionnelle au carré de la vitesse du vent
• Stabilité : Système de fixation robuste pour résister aux intempéries
• Motorisation : Couple suffisant pour actionner le système en toutes conditions
- Méthode des nœuds : Analyse des forces en chaque jonction d'une structure
- Méthode des sections : Coupe imaginaire pour analyser les efforts internes
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Modélisation numérique : Utilisation de logiciels CAO pour les structures réelles
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
