Équilibre d'un point matériel : Un objet est en équilibre si la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.
- Isoler le système
- Identifier toutes les forces
- Appliquer les équations d'équilibre
- Résoudre le système d'équations
\(P = mg = 5 \times 9.81 = 49.05\) N
\(\sum F_x = T_1\cos(30°) - T_2\cos(30°) = 0\)
\(\sum F_y = T_1\sin(30°) + T_2\sin(30°) - P = 0\)
De la première équation : \(T_1 = T_2\)
De la deuxième équation : \(2T_1\sin(30°) = P\)
Donc : \(T_1 = \frac{P}{2\sin(30°)} = \frac{49.05}{2 \times 0.5} = 49.05\) N
\(T_1 = T_2 = 49.05\) N
\(\sum F_x = 49.05\cos(30°) - 49.05\cos(30°) = 0\) ✓
\(\sum F_y = 49.05\sin(30°) + 49.05\sin(30°) - 49.05 = 0\) ✓
Les tensions dans les deux câbles sont égales à 49.05 N
• Équilibre : Somme des forces horizontales et verticales nulle
• Symétrie : Pour un objet suspendu symétriquement, les tensions sont égales
• Trigonométrie : Décomposer les forces selon les axes x et y
Poutre isostatique : Structure en équilibre avec un nombre suffisant d'appuis pour équilibrer les forces sans être hyperstatique.
Charge P = 2000N à 3m de A, réactions \(R_A\) et \(R_B\) aux appuis
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\)
\(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times L - P \times 3 = 0\)
\(R_B \times 10 - 2000 \times 3 = 0\)
\(R_B = \frac{6000}{10} = 600\) N
\(R_A = P - R_B = 2000 - 600 = 1400\) N
\(\sum F_y = 1400 + 600 - 2000 = 0\) ✓
\(\sum M_B = R_A \times 10 - P \times 7 = 14000 - 14000 = 0\) ✓
L'appui A supporte 1400N et l'appui B supporte 600N
• Équilibre : 3 équations pour 3 inconnues (isostatique)
• Moments : Choisir un point de calcul pour simplifier les équations
• Proportionnalité : La charge est plus proche de A, donc \(R_A > R_B\)
Équilibre en rotation : Un solide est en équilibre en rotation si la somme des moments extérieurs par rapport à un point est nulle.
Porte de largeur L = 0.8m, poids P = 200N, angle d'ouverture θ = 60°
Distance du centre de gravité au pivot : \(d = \frac{L}{2} \cos(30°)\)
\(d = \frac{0.8}{2} \cos(30°) = 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.346\) m
\(M_P = P \times d = 200 \times 0.346 = 69.2\) N.m
Pour équilibrer : \(M_{couple} = M_P = 69.2\) N.m
Il faut appliquer un couple de 69.2 N.m pour maintenir la porte en équilibre
Un couple de 69.2 N.m est nécessaire pour maintenir la porte en équilibre à 60°
• Moment : \(M = F \times d\) avec d la distance perpendiculaire
• Centre de gravité : Situé au milieu de la porte
• Équilibre rotatif : Moment stabilisant = moment de renversement
Système triangulaire stable : Structure reposant sur 3 points non alignés, offrant une stabilité optimale.
\(P = mg = 70 \times 9.81 = 686.7\) N ≈ 687 N
Si la personne est au centre de la chaise, la charge est répartie également sur les 3 pattes
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_1 + R_2 + R_3 - P = 0\)
\(R_1 = R_2 = R_3 = R\)
\(3R = P\)
\(R = \frac{P}{3} = \frac{687}{3} = 229\) N
\(3 \times 229 = 687\) N, ce qui équilibre le poids ✓
Chaque patte supporte 229 N
• Symétrie : Lorsque la charge est centrée, la répartition est uniforme
• Équilibre : Somme des réactions égale au poids total
• Stabilité : 3 points offrent une base triangulaire stable
Équilibre sur pente : Situation où les forces de gravité, de réaction et de freinage s'équilibrent.
\(P = mg = 500 \times 9.81 = 4905\) N
Composante parallèle à la pente : \(P_{//} = P\sin(15°)\)
\(P_{//} = 4905 \times \sin(15°) = 4905 \times 0.259 = 1268\) N
\(P_{\perp} = P\cos(15°) = 4905 \times \cos(15°) = 4905 \times 0.966 = 4738\) N
Pour maintenir l'équilibre : \(F_{frein} = P_{//} = 1268\) N
La réaction normale du sol équilibre la composante perpendiculaire : \(N = P_{\perp} = 4738\) N
La force de freinage nécessaire est de 1268 N
• Décomposition : Projeter les forces selon les directions parallèle et perpendiculaire à la pente
• Équilibre : La force de freinage doit compenser la composante du poids parallèle à la pente
• Sécurité : En pratique, prévoir un coefficient de sécurité pour le freinage
- Méthode analytique : Écrire les équations d'équilibre et résoudre le système
- Méthode graphique : Polygone des forces pour les systèmes plans
- Méthode des torseurs : Formalisme complet pour les systèmes spatiaux
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
