Champ gravitationnel : Vecteur \(\vec{g}\) qui, en chaque point de l'espace, indique la force gravitationnelle par unité de masse exercée sur un corps placé en ce point. \(\vec{g} = G\frac{M}{r^2}\vec{u}_r\).
- Identifier la masse M de l'astre créateur
- Identifier la distance r depuis le centre de l'astre
- Appliquer la formule : \(g = G\frac{M}{r^2}\)
- Remplacer par les valeurs numériques
Masse de la Terre : M_T = 5.97×10²⁴ kg
Rayon de la Terre : R_T = 6.37×10⁶ m
Constante gravitationnelle : G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
\(g = G\frac{M}{r^2}\)
Où r = R_T (rayon de la Terre pour un point à la surface)
\(g = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2}\)
\((6.37 \times 10^6)^2 = 4.058 \times 10^{13}\)
\(g = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{4.058 \times 10^{13}}\)
\(g = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.47 \times 10^{11} = 9.81\) m/s²
L'intensité du champ gravitationnel à la surface de la Terre est de 9.81 m/s².
• Direction : Le champ est dirigé vers le centre de la Terre
• Unité : Le champ gravitationnel s'exprime en m/s² ou N/kg
• Uniformité : À la surface, le champ est approximativement uniforme
Champ en altitude : Le champ gravitationnel diminue avec le carré de la distance au centre de l'astre. Pour une altitude h : \(g(h) = G\frac{M}{(R+h)^2}\).
r = R_T + h = 6.37×10⁶ + 400×10³ = 6.77×10⁶ m
\(g = G\frac{M_T}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^6)^2}\)
\((6.77 \times 10^6)^2 = 4.58 \times 10^{13}\)
\(g = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{4.58 \times 10^{13}} = 8.69\) m/s²
Le champ est environ 11% plus faible à 400 km d'altitude.
L'intensité du champ gravitationnel à 400 km d'altitude est de 8.69 m/s².
• Atténuation : Le champ diminue avec l'altitude
• Proportionnalité inverse : g ∝ 1/r²
• Station spatiale : Malgré l'atténuation, le champ est encore très présent
Champ lunaire : Le champ gravitationnel à la surface de la Lune est plus faible que sur Terre en raison de sa masse et de son rayon plus petits.
Masse de la Lune : M_L = 7.35×10²² kg
Rayon de la Lune : R_L = 1.74×10⁶ m
\(g_L = G\frac{M_L}{R_L^2}\)
\(g_L = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^6)^2}\)
\((1.74 \times 10^6)^2 = 3.03 \times 10^{12}\)
\(g_L = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{7.35 \times 10^{22}}{3.03 \times 10^{12}} = 1.62\) m/s²
\(\frac{g_L}{g_T} = \frac{1.62}{9.81} = 0.165\), soit environ 1/6 de g_T
Le champ gravitationnel à la surface de la Lune est de 1.62 m/s², soit environ 1/6 de celui de la Terre.
• Proportionnalité : g ∝ M/r²
• Comparaison : La Lune a une gravité 6 fois plus faible que la Terre
• Conséquence : Explication du mouvement des astronautes en "lévitation"
Lignes de champ : Courbes imaginaires tangentes en chaque point au vecteur champ gravitationnel. Elles montrent la direction et le sens de la force gravitationnelle.
Le champ gravitationnel est toujours dirigé vers le centre de la masse créatrice.
Les lignes de champ sont des droites passant par le centre de la sphère.
Plus les lignes sont rapprochées, plus le champ est intense.
Les lignes convergent vers la masse, indiquant une force attractive.
Autour d'une sphère homogène, le champ est radial et symétrique.
Les lignes de champ gravitationnel sont radiales, convergentes vers la masse centrale, et leur densité diminue avec la distance.
• Tangence : Les lignes sont tangentes au vecteur champ
• Direction : Toujours vers la masse créatrice
• Densité : Proportionnelle à l'intensité du champ
Force gravitationnelle : La force subie par un objet de masse m dans un champ gravitationnel \(\vec{g}\) est : \(\vec{F} = m\vec{g}\).
r = R_T + h = 6.37×10⁶ + 2000×10³ = 8.37×10⁶ m
\(g = G\frac{M_T}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{(8.37 \times 10^6)^2}\)
\((8.37 \times 10^6)^2 = 7.01 \times 10^{13}\)
\(g = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24}}{7.01 \times 10^{13}} = 5.64\) m/s²
\(F = mg = 500 \times 5.64 = 2820\) N
Le satellite subit une force gravitationnelle de 2820 N dirigée vers le centre de la Terre.
Le satellite subit une force gravitationnelle de 2820 newtons à 2000 km d'altitude.
• Relation fondamentale : F = mg
• Direction : La force est dirigée vers le centre de la Terre
• Orbite : Cette force fournit la force centripète nécessaire au mouvement orbital
- Champ gravitationnel : \(g = G\frac{M}{r^2}\)
- Force gravitationnelle : \(F = mg\)
- Champ en altitude : \(g(h) = G\frac{M}{(R+h)^2}\)
- Comparaison : \(\frac{g_1}{g_2} = \frac{M_1}{M_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}\)
- Le champ gravitationnel est toujours attractif (vers la masse)
- Le champ diminue avec le carré de la distance
- Le champ est le même pour tous les objets à un point donné
- Le champ terrestre est approximativement uniforme près de la surface
- La constante gravitationnelle G est universelle
