Notion de champ gravitationnel - Champs de forces | Physique-Chimie 1ère

Isaac Newton a formulé la loi de la gravitation universelle en 1687 :

Où :

• G est la constante de gravitation universelle (6,67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
• m₁ et m₂ sont les masses des deux objets
• r est la distance entre les centres des deux masses
• û est le vecteur unitaire dirigé de m₁ vers m₂

• 1 Toujours attractive
• 2 Proportionnelle aux masses
• 3 Inversement proportionnelle au carré de la distance
• 4 S'applique à toutes les masses

Une masse M ponctuelle crée un champ gravitationnel dans l'espace environnant :

Où :

• G est la constante de gravitation universelle
• M est la masse source du champ
• r est la distance du point à la masse M
• û est le vecteur unitaire dirigé de la masse vers le point considéré

• Radial : dirigé vers la masse source
• Central : dépend uniquement de la distance r
• Inversible : symétrique par rapport à la masse
• Conservatif : travail indépendant du chemin suivi

La Terre, de masse M_T et de rayon R_T, crée un champ gravitationnel :

Au niveau du sol (r = R_T), le champ gravitationnel terrestre est approximativement constant :

Le champ gravitationnel terrestre varie avec l'altitude h :

À 10 km d'altitude, la variation est environ de 0,3 %.

Les lignes de champ gravitationnel sont des lignes imaginaires telles que :

• Le vecteur champ gravitationnel est tangent à la ligne en chaque point
• Elles sont orientées dans le sens du champ (vers la masse source)
• La densité des lignes est proportionnelle à l'intensité du champ

Les lignes de champ gravitationnel d'une masse sphérique sont radiales et convergent vers le centre :

• Lignes droites passant par le centre de la sphère
• Direction : du point vers la masse source
• Densité : plus élevée près de la masse

Un satellite en orbite est en équilibre entre la force gravitationnelle et la force centrifuge :

Soit : \( v = \sqrt{G \frac{M_T}{r}} \) (vitesse orbitale)

Le poids d'un objet est la force gravitationnelle exercée par la Terre :

Où m est la masse de l'objet et \( \vec{g} \) le champ gravitationnel local.

Les planètes orbitent autour du Soleil sous l'effet du champ gravitationnel solaire, conformément aux lois de Kepler.

g = (6,67 × 10⁻¹¹) × (6,0 × 10²⁴) / (6,4 × 10⁶)²

g = (6,67 × 10⁻¹¹) × (6,0 × 10²⁴) / (40,96 × 10¹²)

g = (40,02 × 10¹³) / (40,96 × 10¹²)

g = 9,77 m/s²

Condition : g(h) = g₀/2

Donc : g₀/2 = g₀(R_T/(R_T + h))²

1/2 = (R_T/(R_T + h))²

√(1/2) = R_T/(R_T + h)

(R_T + h)/R_T = √2

1 + h/R_T = √2

h = R_T(√2 - 1)

h = 6,38 × 10⁶ × (1,414 - 1) = 6,38 × 10⁶ × 0,414 = 2,64 × 10⁶ m = 2640 km

v² = GM_T/r

où r = R_T + h = 6,38 × 10⁶ + 400 × 10³ = 6,78 × 10⁶ m

v² = (6,67 × 10⁻¹¹) × (5,98 × 10²⁴) / (6,78 × 10⁶)

v² = (39,89 × 10¹³) / (6,78 × 10⁶) = 5,88 × 10⁷

v = √(5,88 × 10⁷) = 7,67 × 10³ m/s = 7,67 km/s

• Champ vectoriel décrivant la force gravitationnelle
• Unité : N/kg ou m/s²
• \( \vec{g} = \vec{F}/m \)

• \( \vec{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{u} \)
• Force toujours attractive
• Proportionnelle aux masses
• Inversement proportionnelle au carré de la distance

• Champ terrestre : g₀ ≈ 9,81 m/s²
• Variation avec l'altitude
• Mouvement des satellites
• Orbite circulaire : v = √(GM/r)