Applications aux structures réelles
Exercices corrigés

Poutre de longueur L = 6 m

Appuis aux extrémités (A et B)

Charge concentrée P = 10 kN à 2 m de l'appui A (donc a = 2 m, b = 4 m)

Équilibre des moments par rapport à A : \( R_B \cdot L = P \cdot a \)

\( R_B = \frac{P \cdot a}{L} = \frac{10,000 \times 2}{6} = 3,333 \text{ N} \)

Équilibre vertical : \( R_A + R_B = P \)

\( R_A = P - R_B = 10,000 - 3,333 = 6,667 \text{ N} \)

Pour une charge concentrée, le moment maximal se situe à l'endroit de la charge

\( M_{f,max} = \frac{P \cdot a \cdot b}{L} = \frac{10,000 \times 2 \times 4}{6} = 13,333 \text{ N·m} \)

Soit une poutre en IPE 200 : I_G = 1940×10⁻⁸ m⁴, h = 200 mm

\( y_{max} = h/2 = 0.1 \text{ m} \)

\( \sigma_{max} = \frac{M_{f,max} \cdot y_{max}}{I_G} = \frac{13,333 \times 0.1}{1940×10^{-8}} = 68.7×10^6 \text{ Pa} = 68.7 \text{ MPa} \)

Treillis triangulaire avec 3 nœuds (A, B, C)

Nœud A : appui simple (réaction verticale et horizontale)

Nœud C : appui mobile (réaction verticale seulement)

Charge P = 5000 N au nœud B

Longueur AB = BC = 3 m, AC = 3√2 m (triangle rectangle isocèle)

Équilibre des moments par rapport à A : \( R_C \cdot 3 = P \cdot 3 \)

\( R_C = P = 5000 \text{ N} \)

Équilibre vertical : \( R_{Ay} + R_C = P \)

\( R_{Ay} = P - R_C = 0 \text{ N} \)

Équilibre horizontal : \( R_{Ax} = 0 \text{ N} \)

Soient N₁, N₂ les efforts dans les barres AB et BC

Équilibre horizontal : \( N_1 \cos(45°) - N_2 \cos(45°) = 0 \)

Donc : \( N_1 = N_2 \)

Équilibre vertical : \( N_1 \sin(45°) + N_2 \sin(45°) = P \)

\( 2N_1 \sin(45°) = 5000 \)

\( N_1 = \frac{5000}{2 \sin(45°)} = \frac{5000}{2 \times 0.707} = 3,536 \text{ N} \)

Équilibre horizontal : \( N_2 \cos(45°) + N_3 = 0 \)

\( N_3 = -N_2 \cos(45°) = -3,536 \times 0.707 = -2,500 \text{ N} \)

Équilibre vertical : \( N_2 \sin(45°) + R_C = 0 \)

\( 3,536 \times 0.707 + 5000 = 2,500 + 5000 = 7,500 \text{ N} \)

Erreur, recalculons...

Équilibre vertical : \( N_2 \sin(45°) + R_C = 0 \)

\( N_2 \sin(45°) = -R_C = -5000 \)

\( N_2 = \frac{-5000}{\sin(45°)} = \frac{-5000}{0.707} = -7,071 \text{ N} \)

Donc N₁ = N₂ = -7,071 N (compression)

Équilibre horizontal : \( N_2 \cos(45°) + N_3 = 0 \)

\( N_3 = -N_2 \cos(45°) = 7,071 \times 0.707 = 5,000 \text{ N} \) (traction)

Portique encastré à la base avec une traverse horizontale

Poteau vertical : hauteur h = 4 m

Traverse horizontale : longueur L = 6 m

Charge uniformément répartie sur la traverse : q = 2000 N/m

Module d'élasticité E = 200 GPa

Moment quadratique I = 3000×10⁻⁸ m⁴

Charge totale sur la traverse : \( Q = q \times L = 2000 \times 6 = 12,000 \text{ N} \)

La charge uniformément répartie sur la traverse crée un moment fléchissant au point d'encastrement

Moment dû à la charge sur la traverse : \( M = \frac{qL^2}{8} = \frac{2000 \times 6^2}{8} = 9,000 \text{ N·m} \)

Réaction verticale : \( R = Q = 12,000 \text{ N} \)

Réaction horizontale : \( H = 0 \text{ N} \) (pas de charge horizontale)

Moment d'encastrement : \( M_{enc} = 9,000 \text{ N·m} \)

Le poteau est soumis à de la flexion pure avec un moment de 9,000 N·m

Soit un profil HEA 200 : I = 3692×10⁻⁸ m⁴, h = 190 mm

\( y_{max} = h/2 = 0.095 \text{ m} \)

\( \sigma_{max} = \frac{M \cdot y_{max}}{I} = \frac{9,000 \times 0.095}{3692×10^{-8}} = 23.1×10^6 \text{ Pa} = 23.1 \text{ MPa} \)

Pour une poutre encastrée avec charge répartie :

\( f_{max} = \frac{qL^4}{8EI} = \frac{2000 \times 6^4}{8 \times 200×10^9 \times 3000×10^{-8}} \)

\( f_{max} = \frac{2000 \times 1296}{4.8×10^6} = 0.54 \text{ m} = 540 \text{ mm} \)

Correction : Pour une console (poteau), la déformation due à un moment à l'extrémité est :

\( f = \frac{ML^2}{2EI} = \frac{9000 \times 4^2}{2 \times 200×10^9 \times 3000×10^{-8}} = \frac{144,000}{12×10^6} = 0.012 \text{ m} = 12 \text{ mm} \)

Poutre continue à 2 travées avec 3 appuis simples (A, B, C)

Travée AB : longueur L₁ = 4 m

Travée BC : longueur L₂ = 5 m

Charge uniformément répartie sur les 2 travées : q = 3000 N/m

Cette structure est hyperstatique de degré 1 (3 réactions, 2 équations d'équilibre)

Étant donné que l'appui A et C sont simples, et B est un appui intermédiaire, on applique la formule des trois moments :

\( M_A L_1 + 2M_B(L_1 + L_2) + M_C L_2 = -\frac{qL_1^3}{4} - \frac{qL_2^3}{4} \)

Avec M_A = M_C = 0 (appuis simples), on obtient :

\( 2M_B(L_1 + L_2) = -\frac{q}{4}(L_1^3 + L_2^3) \)

\( 2M_B(4 + 5) = -\frac{3000}{4}(4^3 + 5^3) \)

\( 18M_B = -750(64 + 125) = -750 \times 189 = -141,750 \)

\( M_B = \frac{-141,750}{18} = -7,875 \text{ N·m} \)

Le moment sur l'appui B est de -7.875 kN·m (signe négatif indique que la face supérieure est tendue)

Pour la travée AB (comme une poutre avec moment sur appui B) :

\( R_A = \frac{qL_1}{2} + \frac{M_B}{L_1} = \frac{3000 \times 4}{2} + \frac{-7,875}{4} = 6,000 - 1,969 = 4,031 \text{ N} \)

\( R_B^{gauche} = \frac{qL_1}{2} - \frac{M_B}{L_1} = 6,000 + 1,969 = 7,969 \text{ N} \)

Pour la travée BC :

\( R_B^{droite} = \frac{qL_2}{2} + \frac{M_B}{L_2} = \frac{3000 \times 5}{2} + \frac{-7,875}{5} = 7,500 - 1,575 = 5,925 \text{ N} \)

\( R_C = \frac{qL_2}{2} - \frac{M_B}{L_2} = 7,500 + 1,575 = 9,075 \text{ N} \)

Total des charges : \( q(L_1 + L_2) = 3000(4 + 5) = 27,000 \text{ N} \)

Total des réactions : \( R_A + R_B + R_C = 4,031 + (7,969 + 5,925) + 9,075 = 27,000 \text{ N} \) ✓

Structure à dimensionner : poutre en I

Moment fléchissant maximal : M_f = 25 kN·m

Matériau : Acier S235 (Re = 235 MPa)

Coefficient de sécurité : CS = 2

Contrainte admissible : σ_adm = 235/2 = 117.5 MPa

La contrainte de flexion maximale est : \( \sigma_{max} = \frac{M_f}{W} \)

Où W est le module de résistance à la flexion : \( W = \frac{I}{y_{max}} \)

Pour respecter la contrainte admissible : \( \frac{M_f}{W} \leq \sigma_{adm} \)

Donc : \( W \geq \frac{M_f}{\sigma_{adm}} = \frac{25,000}{117.5×10^6} = 2.13×10^{-4} \text{ m}^3 = 213 \text{ cm}^3 \)

Consultation d'un catalogue de profils laminés

Profil IPE 160 : W = 104 cm³ (insuffisant)

Profil IPE 180 : W = 131 cm³ (insuffisant)

Profil IPE 200 : W = 194 cm³ (insuffisant)

Profil IPE 220 : W = 239 cm³ (suffisant)

On choisit l'IPE 220 avec W = 239 cm³

\( \sigma_{réel} = \frac{M_f}{W} = \frac{25,000}{239×10^{-6}} = 104.6×10^6 \text{ Pa} = 104.6 \text{ MPa} \)

\( \sigma_{réel} = 104.6 \text{ MPa} < \sigma_{adm} = 117.5 \text{ MPa} \) ✓

Contrainte réelle < contrainte admissible : OK

Pour une poutre simplement appuyée avec charge uniformément répartie :

\( f_{max} = \frac{5qL^4}{384EI} \)

Pour une charge ponctuelle au centre : \( f_{max} = \frac{PL^3}{48EI} \)

Supposons une charge équivalente P = 25 kN sur une portée L = 5 m

Pour l'IPE 220 : I = 2770×10⁻⁸ m⁴

\( f_{max} = \frac{25,000 \times 5^3}{48 \times 200×10^9 \times 2770×10^{-8}} = \frac{3,125,000}{2.66×10^8} = 0.0117 \text{ m} = 11.7 \text{ mm} \)

Limite admissible : L/300 = 5000/300 = 16.7 mm

11.7 mm < 16.7 mm : déformation admissible ✓