Graphe x(t) : La pente de la courbe en un point donne la vitesse instantanée. v(t) = dx/dt.
- Observer la forme générale de la courbe
- Identifier les pentes positives/négatives/nulles
- Repérer les points d'inflexion
- Déduire le type de mouvement
Un graphe x(t) montre une droite croissante, suivie d'une portion horizontale, puis d'une droite décroissante. Interpréter chaque phase du mouvement.
Pente positive et constante → vitesse positive et constante
C'est un mouvement rectiligne uniforme (MRU) dans le sens positif
Pente nulle → vitesse nulle
Le mobile est immobile
Pente négative et constante → vitesse négative et constante
C'est un MRU dans le sens négatif
Le mobile avance à vitesse constante, s'arrête, puis revient en arrière à vitesse constante
L'accélération est nulle dans toutes les phases (courbes droites)
Le mobile effectue un MRU positif, s'immobilise, puis effectue un MRU négatif. L'accélération est nulle partout.
• Pente x(t) : Donne la vitesse instantanée
• Droite horizontale : Vitesse nulle
• Droite inclinée : MRU (vitesse constante)
Dérivation graphique : La vitesse v(t) est la pente du graphe x(t) à chaque instant.
Soit x(t) = t² - 4t + 3. Tracer x(t) et en déduire v(t) graphiquement, puis vérifier par calcul.
x(t) = t² - 4t + 3
C'est une parabole avec a = 1 > 0 (concavité vers le haut)
v(t) = dx/dt = 2t - 4
C'est une droite croissante
Minimum de la parabole : t = -(-4)/(2×1) = 2s
À t = 2s, x(2) = 4 - 8 + 3 = -1m
À t = 0s : v(0) = -4 m/s (vitesse initiale négative)
À t = 2s : v(2) = 0 m/s (vitesse nulle au minimum)
À t = 4s : v(4) = 4 m/s (vitesse positive)
Avant t = 2s : pente de x(t) négative → vitesse négative (mobile recule)
Après t = 2s : pente de x(t) positive → vitesse positive (mobile avance)
À t = 2s : pente nulle → vitesse nulle
La vitesse est v(t) = 2t - 4. Le mobile recule jusqu'à t = 2s, s'arrête, puis avance.
• Dérivation : \(\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}\)
• Minimum : Pente nulle → vitesse nulle
• Signe pente : Indique le sens du mouvement
Dérivation graphique : L'accélération a(t) est la pente du graphe v(t) à chaque instant.
Un graphe v(t) montre une droite horizontale, suivie d'une droite croissante, puis d'une droite horizontale. Déterminer a(t) pour chaque phase.
Pente = 0 → a(t) = 0
MRU (vitesse constante)
Pente positive et constante → a(t) = constante > 0
MRUA (accélération constante positive)
Pente = 0 → a(t) = 0
MRU (vitesse constante)
Phase 1 : a = 0 (segment horizontal sur axe des abscisses)
Phase 2 : a = constante > 0 (segment horizontal au-dessus de l'axe)
Phase 3 : a = 0 (segment horizontal sur axe des abscisses)
Le mobile se déplace à vitesse constante, accélère uniformément, puis retrouve une vitesse constante
L'accélération est nulle, puis constante positive, puis nulle à nouveau.
• Pente v(t) : Donne l'accélération instantanée
• Droite horizontale : Accélération nulle
• Droite inclinée : Accélération constante
Intégration graphique : v(t) = v₀ + ∫a(t)dt et x(t) = x₀ + ∫v(t)dt. L'aire sous la courbe représente l'intégrale.
Un graphe a(t) montre une zone rectangulaire de hauteur 2 m/s² sur 3 secondes, suivie de zéro. Si v₀ = 1 m/s et x₀ = 0, tracer v(t) et x(t).
Pour 0 ≤ t ≤ 3s : a(t) = 2 m/s²
Pour t > 3s : a(t) = 0
Pour 0 ≤ t ≤ 3s : v(t) = v₀ + ∫₀ᵗ a(u)du = 1 + ∫₀ᵗ 2du = 1 + 2t
Pour t > 3s : v(t) = v(3) = 1 + 2(3) = 7 m/s (constant)
Pour 0 ≤ t ≤ 3s : x(t) = x₀ + ∫₀ᵗ v(u)du = 0 + ∫₀ᵗ (1 + 2u)du = 0 + [u + u²]₀ᵗ = t + t²
Pour t > 3s : x(t) = x(3) + ∫₃ᵗ v(u)du = (3 + 9) + ∫₃ᵗ 7du = 12 + 7(t - 3) = 7t - 9
v(t) = {1 + 2t si 0 ≤ t ≤ 3; 7 si t > 3}
x(t) = {t + t² si 0 ≤ t ≤ 3; 7t - 9 si t > 3}
À t = 0 : v(0) = 1 m/s, x(0) = 0 m
À t = 3 : v(3) = 7 m/s, x(3) = 12 m
À t = 4 : v(4) = 7 m/s, x(4) = 19 m
La vitesse croît linéairement jusqu'à 7 m/s, puis reste constante. La position croît quadratiquement puis linéairement.
• Aire sous a(t) : Donnée la variation de vitesse
• Aire sous v(t) : Donnée la variation de position
• Conditions initiales : Nécessaires pour déterminer les constantes
Mouvement composé : Succession de phases avec différents types de mouvements (MRU, MRUA, arrêt).
Un bus part du repos, accélère uniformément pendant 10s à 2 m/s², roule à vitesse constante pendant 20s, puis freine uniformément pendant 8s jusqu'à l'arrêt. Tracer les graphes v(t) et x(t).
a = 2 m/s², v₀ = 0
v(t) = v₀ + at = 0 + 2t = 2t
v(10) = 20 m/s
x(t) = x₀ + v₀t + ½at² = 0 + 0 + ½(2)t² = t²
x(10) = 100 m
a = 0, v = 20 m/s (constante)
v(t) = 20 m/s
x(t) = x(10) + v(t-10) = 100 + 20(t-10) = 20t - 100
x(30) = 600 - 100 = 500 m
Fin du freinage : v(38) = 0
Accélération : a = (0-20)/(38-30) = -20/8 = -2.5 m/s²
v(t) = v(30) + a(t-30) = 20 - 2.5(t-30) = 20 - 2.5t + 75 = 95 - 2.5t
x(t) = x(30) + v(30)(t-30) + ½a(t-30)² = 500 + 20(t-30) + ½(-2.5)(t-30)²
x(t) = 500 + 20(t-30) - 1.25(t-30)²
x(38) = 500 + 20(8) - 1.25(64) = 500 + 160 - 80 = 580 m
v(t) = {2t si 0≤t≤10; 20 si 10≤t≤30; 95-2.5t si 30≤t≤38}
x(t) = {t² si 0≤t≤10; 20t-100 si 10≤t≤30; 500+20(t-30)-1.25(t-30)² si 30≤t≤38}
Distance totale : 580 m
Vitesse maximale : 20 m/s
Temps total : 38 s
Le bus parcourt 580 m en 38 s avec une vitesse maximale de 20 m/s. Le graphe v(t) est triangulaire, x(t) est composé de portions paraboliques et linéaires.
• Continuité : Vitesse et position doivent être continues
• MRUA : Équations spécifiques avec accélération constante
• Graphes : x(t) est continu et dérivable, v(t) est continu
- Pente de x(t) : Donne la vitesse v(t)
- Pente de v(t) : Donne l'accélération a(t)
- Aire sous a(t) : Donne la variation de vitesse
- Aire sous v(t) : Donne la variation de position
- La pente d'une courbe donne la dérivée de la grandeur précédente
- L'aire sous une courbe donne l'intégrale de la grandeur suivante
- La continuité de position et vitesse est obligatoire
- Les unités doivent être cohérentes dans tous les graphes
- Un point d'inflexion sur x(t) correspond à un extremum sur a(t)
