Force électrique et lois qualitatives
Exercices corrigés

Charge 1 : q₁ = +3 μC = +3×10⁻⁶ C
Charge 2 : q₂ = -5 μC = -5×10⁻⁶ C
Distance : r = 10 cm = 0.1 m
Constante de Coulomb : k = 8.99×10⁹ N·m²/C²

\(F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}\)
Le signe du produit détermine le sens de la force

\(|q_1q_2| = |3 \times 10^{-6} \times (-5) \times 10^{-6}| = 15 \times 10^{-12}\) C²

\(r^2 = (0.1)^2 = 0.01\) m²

\(F = 8.99 \times 10^9 \times \frac{15 \times 10^{-12}}{0.01} = 8.99 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-9} = 13.485\) N

Comme q₁ et q₂ sont de signes opposés, la force est attractive.

Triangle équilatéral de côté a = 5 cm avec une charge +q à chaque sommet.

\(F = k\frac{q^2}{a^2} = 8.99 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(0.05)^2}\)

\(a^2 = (0.05)^2 = 0.0025\) m²

\(q^2 = (2 \times 10^{-6})^2 = 4 \times 10^{-12}\) C²

\(F = 8.99 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{0.0025} = 8.99 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-9} = 14.384\) N

Dans un triangle équilatéral, les angles sont de 60°. Les deux forces forment un angle de 120° entre elles.

Par symétrie, la composante perpendiculaire s'annule.
\(F_{résultante} = 2F\cos(30°) = 2 \times 14.384 \times \cos(30°)\)
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(F_{résultante} = 2 \times 14.384 \times 0.866 = 24.93\) N

Charge : q = -4 μC = -4×10⁻⁶ C
Champ électrique : E = 1000 N/C

\(\vec{F} = q\vec{E}\)

\(|F| = |q| \times E = 4 \times 10^{-6} \times 1000 = 4 \times 10^{-3}\) N

Comme q < 0, la force est opposée au champ : \(\vec{F} = -|q|\vec{E}\)

La force a une intensité de 4×10⁻³ N et est opposée au sens du champ.

Une charge négative subit une force dans le sens opposé au champ électrique.

Deux charges positives ou deux charges négatives s'éloignent l'une de l'autre.

Une charge positive et une charge négative s'attirent mutuellement.

Ces comportements découlent de la loi de Coulomb : F ∝ q₁q₂

La force diminue avec le carré de la distance entre les charges.

La force exercée par q₁ sur q₂ est égale et opposée à celle exercée par q₂ sur q₁.

Phénomènes d'électrisation, foudre, fonctionnement des condensateurs.

Deux charges positives q₁ = +6μC et q₂ = +4μC séparées de d = 8 cm.

Soit x la distance entre q₁ et q₃. Alors la distance entre q₃ et q₂ est (d-x).

Force de q₁ sur q₃ : \(F_1 = k\frac{q_1q_3}{x^2}\) (dirigée vers la droite si q₃ > 0)
Force de q₂ sur q₃ : \(F_2 = k\frac{q_2q_3}{(d-x)^2}\) (dirigée vers la gauche si q₃ > 0)

Pour que la charge q₃ soit en équilibre : \(F_1 = F_2\)
\(k\frac{q_1q_3}{x^2} = k\frac{q_2q_3}{(d-x)^2}\)

\(\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(d-x)^2}\)
\(\frac{6}{x^2} = \frac{4}{(8-x)^2}\)

\(6(8-x)^2 = 4x^2\)
\(6(64 - 16x + x^2) = 4x^2\)
\(384 - 96x + 6x^2 = 4x^2\)
\(2x^2 - 96x + 384 = 0\)
\(x^2 - 48x + 192 = 0\)

\(\Delta = 48^2 - 4(1)(192) = 2304 - 768 = 1536\)
\(x = \frac{48 \pm \sqrt{1536}}{2} = \frac{48 \pm 39.19}{2}\)
\(x_1 = \frac{48 - 39.19}{2} = 4.41\) cm ou \(x_2 = \frac{48 + 39.19}{2} = 43.6\) cm

Seule la solution x₁ = 4.41 cm est valide car x₂ > d = 8 cm (hors du segment entre les charges).