Théorème de Shannon-Nyquist : \( f_e > 2 \cdot f_{max} \) pour éviter le repliement spectral.
Le signal a une fréquence maximale de \( f_{max} = 20 \) kHz
Le taux d'échantillonnage doit être strictement supérieur à \( 2 \times f_{max} \)
\( f_e > 2 \times 20 \) kHz = 40 kHz
Le taux d'échantillonnage doit être supérieur à 40 kHz
Le taux d'échantillonnage minimum est de 40 kHz (en pratique, 44.1 kHz ou 48 kHz)
• Théorème : \( f_e > 2 \cdot f_{max} \) pour éviter l'aliasing
• Application : Pour CD, \( f_e = 44.1 \) kHz pour \( f_{max} = 20 \) kHz
• Conséquence : Sous-échantillonnage → repliement spectral
Quantification : Discrétisation des valeurs continues en niveaux discrets.
Nombre de niveaux : \( N = 2^n \) avec \( n \) le nombre de bits.
La quantification est effectuée sur \( n = 12 \) bits
Le nombre de niveaux possibles est \( N = 2^n \)
\( N = 2^{12} = 4096 \) niveaux possibles
Les valeurs vont de -2048 à +2047 (si signé) ou de 0 à 4095 (non signé)
Il y a 4096 niveaux de quantification avec 12 bits
• Formule : \( N = 2^n \) pour \( n \) bits
• Qualité : Plus de bits = plus de précision
• Comparaison : 8 bits = 256 niveaux, 16 bits = 65536 niveaux
Paramètres : 48 kHz, 24 bits, stéréo (2 canaux).
Taille fichier : \( \text{Taille} = \text{Durée} \times \text{Débit binaire} \)
Durée = 5 min = 300 s, \( f_e = 48000 \) Hz, \( n = 24 \) bits, 2 canaux
Débit = \( f_e \times n \times \text{nombre de canaux} \)
Débit = \( 48000 \times 24 \times 2 = 2304000 \) bits/s
Taille = \( 2304000 \times 300 = 691200000 \) bits
Taille = \( 691200000 / 8 / 1024 / 1024 \approx 82.7 \) Mo
Le fichier fait environ 82.7 Mo pour 5 minutes en 48 kHz/24 bits stéréo
• Formule : Taille = Durée × Débit binaire
• Débit : Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
• Conversion : 1 octet = 8 bits, 1 Mo = 1024² octets
Qualité quantification : Plus de bits = plus de niveaux = meilleure précision.
Bruit de quantification : Inversement proportionnel au nombre de bits.
256 niveaux de quantification, bruit plus important
65536 niveaux de quantification, bruit beaucoup plus faible
8 bits : ~48 dB, 16 bits : ~96 dB
8 bits pour voix, 16 bits pour CD, 24 bits pour studio
16 bits offre une bien meilleure qualité que 8 bits grâce à 256 fois plus de niveaux
• Rapport S/B : \( \text{SNR} = 6.02n + 1.76 \) dB
• Qualité : Plus de bits = moins de bruit = meilleure qualité
• Application : 16 bits suffit pour l'audition humaine
Fréquence d'échantillonnage : Nombre d'échantillons par seconde.
Plage de fréquences : Dépend de la gamme audible (20 Hz - 20 kHz).
CD standard, couvre la gamme audible (20 Hz - 20 kHz)
Standard DVD, légèrement supérieur à 44.1 kHz
Haute résolution, capte des fréquences jusqu'à 48 kHz
Les humains n'entendent pas au-delà de 20 kHz, donc bénéfice limité
44.1 kHz suffit pour la gamme audible humaine, 96 kHz pour la qualité studio
• Nyquist : \( f_e > 2 \times f_{max} \)
• Pratique : 44.1 kHz suffit pour l'audition humaine
• Avantages : Fréquences plus élevées permettent un filtrage plus doux
Débit binaire : Quantité de données traitées par unité de temps.
Formule : \( \text{Débit} = f_e \times n \times \text{canaux} \)
\( f_e = 96000 \) Hz, \( n = 24 \) bits, 2 canaux (stéréo)
Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
Débit = \( 96000 \times 24 \times 2 = 4608000 \) bits/s
Débit = \( 4608000 / 8 / 1024 \approx 562.5 \) ko/s
Le débit binaire est de 4608000 bits/s (≈562.5 ko/s)
• Formule : Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
• Stéréo : Double le débit d'un canal mono
• Haute résolution : 96kHz/24bits = 4.6 Mbps
Aliasing : Repliement spectral causé par échantillonnage insuffisant.
Effet : Fréquences hautes deviennent des fréquences basses erronées.
Signal de fréquence \( f > f_e/2 \) n'est pas correctement échantillonné
Une fréquence de 25 kHz avec \( f_e = 40 \) kHz devient 15 kHz
\( f_{apparente} = |f - n \times f_e| \) où \( n \) est entier
Utiliser un filtre anti-repliement avant l'échantillonnage
Le sous-échantillonnage crée des fréquences erronées (aliasing)
• Aliasing : \( f_{apparente} = |f - n \times f_e| \)
• Prévention : Filtre passe-bas avant échantillonnage
• Conséquence : Distorsion irréversible
Profondeur de quantification : Nombre de bits par échantillon.
Impact : Plus de bits = fichier plus volumineux mais meilleure qualité.
8 bits (256 niveaux), 16 bits (65536 niveaux), 24 bits (16 millions niveaux)
Un fichier 16 bits est 2 fois plus volumineux qu'un fichier 8 bits
16 bits : CD qualité, 24 bits : studio qualité
Compromis entre qualité sonore et espace de stockage
Plus de bits = meilleure qualité mais fichier plus volumineux
• Taille : Proportionnelle au nombre de bits
• Qualité : Plus de bits = plus de précision
• Choix : Dépend de l'utilisation (écoute, studio, archivage)
Dynamique : Différence entre le son le plus fort et le plus faible.
Plage dynamique : Écart entre le bruit de fond et le niveau maximum.
Plage de variation des amplitudes dans un signal audio
Plus de bits = plus de niveaux = meilleure représentation des faibles signaux
Plage = \( 20 \times \log_{10}(2^n) \) dB
Pour 16 bits : \( 20 \times \log_{10}(65536) \approx 96 \) dB
Un signal de 96 dB de dynamique peut avoir des parties 10⁹⁶ fois plus faibles
La quantification détermine la plage dynamique du signal numérisé
• Plage : \( \text{PD} = 6.02n + 1.76 \) dB
• 16 bits : Plage dynamique de ~96 dB
• 24 bits : Plage dynamique de ~144 dB
Bruit de quantification : Erreur entre valeur réelle et valeur quantifiée.
Amplitude : Proportionnelle à \( \Delta/\sqrt{12} \) où \( \Delta \) est le pas de quantification.
Erreurs aléatoires dues à l'arrondi des échantillons
Plus de bits = pas de quantification plus petit = moins de bruit
8 bits : bruit ~1/256 du signal max, 16 bits : bruit ~1/65536
Le bruit est souvent masqué par le signal lui-même
Le bruit de quantification diminue exponentiellement avec le nombre de bits
• Bruit : Proportionnel à \( 1/2^{n+1} \) avec \( n \) bits
• Rapport S/B : Augmente de ~6 dB par bit supplémentaire
• Qualité : Plus de bits = moins de bruit = meilleure qualité
