Théorème de Shannon-Nyquist : \( f_e > 2 \cdot f_{max} \) pour éviter le repliement spectral.
Le signal a une fréquence maximale de \( f_{max} = 15 \) kHz
Le taux d'échantillonnage doit être supérieur à \( 2 \times f_{max} \)
\( f_e > 2 \times 15 \) kHz = 30 kHz
Le taux d'échantillonnage doit être supérieur à 30 kHz
Le taux d'échantillonnage minimum est de 30 kHz
• Théorème : \( f_e > 2 \cdot f_{max} \) pour éviter l'aliasing
• Application : Pour CD, \( f_e = 44.1 \) kHz pour \( f_{max} = 20 \) kHz
• Conséquence : Sous-échantillonnage → repliement spectral
Quantification : Discrétisation des valeurs continues en niveaux discrets.
Nombre de valeurs : \( N = 2^n \) avec \( n \) le nombre de bits.
La quantification est effectuée sur \( n = 8 \) bits
Le nombre de valeurs possibles est \( N = 2^n \)
\( N = 2^8 = 256 \) valeurs possibles
Les valeurs vont de -128 à +127 (si signé) ou de 0 à 255 (non signé)
Il y a 256 valeurs possibles avec une quantification sur 8 bits
• Formule : \( N = 2^n \) pour \( n \) bits
• Qualité : Plus de bits = plus de précision
• Brut : 8 bits = 256 niveaux, 16 bits = 65536 niveaux
Format CD : 44.1 kHz, 16 bits, stéréo (2 canaux).
Taille fichier : \( \text{Taille} = \text{Durée} \times \text{Débit binaire} \)
Durée = 3 min = 180 s, \( f_e = 44100 \) Hz, \( n = 16 \) bits, 2 canaux
Débit = \( f_e \times n \times \text{nombre de canaux} \)
Débit = \( 44100 \times 16 \times 2 = 1411200 \) bits/s
Taille = \( 1411200 \times 180 = 254016000 \) bits
Taille = \( 254016000 / 8 / 1024 / 1024 \approx 30.3 \) Mo
Le fichier fait environ 30.3 Mo pour 3 minutes en qualité CD
• Formule : Taille = Durée × Débit binaire
• Débit : Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
• Conversion : 1 octet = 8 bits, 1 Mo = 1024² octets
Qualité échantillonnage : Plus élevé = meilleure restitution des hautes fréquences.
Limites humaines : Audible jusqu'à ~20 kHz.
CD standard, couvre la gamme audible (20 Hz - 20 kHz)
Audio haute résolution, capte des fréquences jusqu'à 48 kHz
96 kHz offre plus de marge pour le filtrage anti-repliement
Les humains n'entendent pas au-delà de 20 kHz, donc bénéfice limité
96 kHz offre une meilleure qualité théorique mais peu perceptible pour l'audition humaine
• Nyquist : \( f_e > 2 \times f_{max} \)
• Pratique : 44.1 kHz suffit pour l'audition humaine
• Avantages : 96 kHz permettra un filtrage plus doux
Quantification : Discrétisation qui introduit un bruit.
Bruit de quantification : Erreur entre valeur réelle et valeur quantifiée.
Chaque échantillon est arrondi au niveau de quantification le plus proche
Erreur de quantification = différence entre signal original et quantifié
Plus de bits = moins de bruit = meilleur rapport signal/bruit
16 bits donne un rapport signal/bruit de ~96 dB, 24 bits ~144 dB
La quantification introduit un bruit de fond, réduit avec plus de bits
• Bruit : Proportionnel à \( 1/2^{n+1} \) avec \( n \) bits
• Rapport S/B : \( \text{SNR} = 6.02n + 1.76 \) dB
• Qualité : Plus de bits = moins de bruit = meilleure qualité
Débit binaire : Quantité de données traitées par unité de temps.
Formule : \( \text{Débit} = f_e \times n \times \text{canaux} \)
\( f_e = 44100 \) Hz, \( n = 16 \) bits, 2 canaux (stéréo)
Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
Débit = \( 44100 \times 16 \times 2 = 1411200 \) bits/s
Débit = \( 1411200 / 8 / 1024 \approx 172.3 \) ko/s
Le débit binaire est de 1411200 bits/s (≈172 ko/s)
• Formule : Débit = \( f_e \times n \times \text{canaux} \)
• Stéréo : Double le débit d'un canal mono
• CD : 1411200 bits/s = 1.4 Mbps
Aliasing : Repliement spectral causé par échantillonnage insuffisant.
Effet : Fréquences hautes deviennent des fréquences basses erronées.
Signal de fréquence \( f > f_e/2 \) n'est pas correctement échantillonné
Une fréquence de 25 kHz avec \( f_e = 40 \) kHz devient 15 kHz
\( f_{apparente} = |f - n \times f_e| \) où \( n \) est entier
Utiliser un filtre anti-repliement avant l'échantillonnage
Le sous-échantillonnage crée des fréquences erronées (aliasing)
• Aliasing : \( f_{apparente} = |f - n \times f_e| \)
• Prévention : Filtre passe-bas avant échantillonnage
• Conséquence : Distorsion irréversible
Profondeur de quantification : Nombre de bits par échantillon.
Impact : Plus de bits = fichier plus volumineux mais meilleure qualité.
8 bits (256 niveaux), 16 bits (65536 niveaux), 24 bits (16 millions niveaux)
Un fichier 16 bits est 2 fois plus volumineux qu'un fichier 8 bits
16 bits : CD qualité, 24 bits : studio qualité
Compromis entre qualité sonore et espace de stockage
Plus de bits = meilleure qualité mais fichier plus volumineux
• Taille : Proportionnelle au nombre de bits
• Qualité : Plus de bits = plus de précision
• Choix : Dépend de l'utilisation (écoute, studio, archivage)
Dynamique : Différence entre le son le plus fort et le plus faible.
Plage dynamique : Écart entre le bruit de fond et le niveau maximum.
Plage de variation des amplitudes dans un signal audio
Plus de bits = plus de niveaux = meilleure représentation des faibles signaux
Plage = \( 20 \times \log_{10}(2^n) \) dB
Pour 16 bits : \( 20 \times \log_{10}(65536) \approx 96 \) dB
Un signal de 96 dB de dynamique peut avoir des parties 10⁹⁶ fois plus faibles
La quantification détermine la plage dynamique du signal numérisé
• Plage : \( \text{PD} = 6.02n + 1.76 \) dB
• 16 bits : Plage dynamique de ~96 dB
• 24 bits : Plage dynamique de ~144 dB
Aliasing : Artéfact de repliement spectral dans le domaine fréquentiel.
Détection : Par analyse spectrale ou distorsion auditive.
Des fréquences inattendues apparaissent dans les basses fréquences
Signaux de fréquence > \( f_e/2 \) non filtrés avant l'échantillonnage
Distorsion métallique, battements étranges, perte de clarté
Utiliser un filtre anti-repliement et respecter le théorème de Nyquist
L'aliasing se détecte par analyse spectrale ou par distorsion auditive
• Détection : Analyse spectrale ou audition critique
• Prévention : Respecter Nyquist et filtrer avant l'échantillonnage
• Effet : Fréquences hautes deviennent basses de manière erronée
