Optimisation d'un système du premier ordre : Ajustement de la constante de temps pour minimiser le temps de réponse tout en respectant des contraintes de performance.
- Identifier la fonction objectif (par exemple, le temps de réponse)
- Définir les variables de décision (constante de temps \(\tau\))
- Établir les contraintes (stabilité, précision)
- Appliquer une méthode d'optimisation (analytique ou numérique)
- Valider la solution optimale
\(G(s) = \frac{K}{1 + \tau s}\) avec \(K = 2\)
Fonction objectif : \(J(\tau) = t_{r5\%} = 3\tau\) (minimiser le temps de réponse)
\(\tau > 0\) (système stable)
\(\tau \leq 1.0\) s (contrainte technique)
Contrainte de précision : \(e_{ss} = 0\) (système de type 1)
\(J(\tau) = 3\tau\) est une fonction linéaire croissante
Pour minimiser \(J(\tau)\), il faut minimiser \(\tau\)
Le minimum de \(J(\tau)\) est atteint pour \(\tau_{opt} = \epsilon\) (très petite valeur)
Mais on impose \(\tau_{min} = 0.1\) s pour des raisons pratiques
Donc \(\tau_{opt} = 0.1\) s
\(t_{r5\%} = 3 \times 0.1 = 0.3\) s
\(t_{r2\%} = 4 \times 0.1 = 0.4\) s
Le système est maintenant plus rapide
L'optimisation de la constante de temps à \(\tau_{opt} = 0.1\) s permet de minimiser le temps de réponse à \(t_{r5\%} = 0.3\) s tout en respectant les contraintes de stabilité.
• Fonction de transfert : \(G(s) = \frac{K}{1 + \tau s}\)
• Temps de réponse : \(t_{r5\%} = 3\tau\)
• Optimisation : Minimiser \(\tau\) pour maximiser la rapidité
Optimisation d'un système oscillant : Ajustement du coefficient d'amortissement \(\delta\) pour minimiser le dépassement tout en maintenant une certaine rapidité.
\(G(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\delta\omega_0 s + \omega_0^2}\)
Avec \(\omega_0 = 5\) rad/s (fixé), \(\delta\) variable
\(J(\delta) = D\% + \alpha \cdot t_r\) où \(D\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}}\)
\(t_r \approx \frac{3}{\delta\omega_0}\) (temps de réponse à 5%)
\(\alpha = 0.1\) (poids pour le compromis)
• Si \(\delta\) augmente : dépassement diminue mais rapidité diminue
• Si \(\delta\) diminue : dépassement augmente mais rapidité augmente
• Optimum : \(\delta = 0.707\) pour le compromis optimal
\(\delta_{opt} = 0.707\) (amortissement critique modéré)
\(D\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi \cdot 0.707}{\sqrt{1-0.5}}} = 100 \cdot e^{-3.14} \approx 4.3\%\)
\(t_r = \frac{3}{0.707 \cdot 5} = 0.85\) s
\(J(0.707) = 4.3 + 0.1 \cdot 0.85 = 4.385\)
Cette valeur est inférieure aux valeurs pour \(\delta = 0.5\) ou \(\delta = 1.0\)
L'optimisation avec \(\delta_{opt} = 0.707\) fournit un bon compromis entre dépassement (4.3%) et rapidité (0.85s), minimisant la fonction objectif \(J(\delta)\).
• Dépassement : \(D\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}}\)
• Temps de réponse : \(t_r \approx \frac{3}{\delta\omega_0}\)
• Compromis optimal : \(\delta = 0.707\)
Optimisation avec contraintes : Recherche de l'optimum d'une fonction tout en respectant des limitations spécifiques.
Minimiser \(J(K) = t_{r5\%} + 10 \cdot D\%\) pour un système \(G(s) = \frac{K}{s(s+2)}\)
avec \(K\) comme paramètre de réglage
\(0.5 \leq K \leq 10\) (limites techniques)
\(D\% \leq 25\%\) (limite de dépassement)
\(GM \geq 6\) dB (marge de gain minimum)
BO(s) = \(\frac{K}{s(s+2)}\), BF(s) = \(\frac{K}{s^2 + 2s + K}\)
\(\omega_0 = \sqrt{K}\), \(\delta = \frac{1}{\sqrt{K}}\)
\(t_{r5\%} \approx \frac{3}{\delta\omega_0} = \frac{3}{1} = 3\) s (indépendant de K)
\(D\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi}{\sqrt{K-1}}}\) pour \(K > 1\)
\(J(K) = 3 + 10 \cdot 100 \cdot e^{-\frac{\pi}{\sqrt{K-1}}}\)
Contrainte \(D\% \leq 25\%\) ⇒ \(e^{-\frac{\pi}{\sqrt{K-1}}} \leq 0.25\)
\(\frac{\pi}{\sqrt{K-1}} \geq \ln(4) = 1.386\) ⇒ \(\sqrt{K-1} \leq \frac{\pi}{1.386} = 2.27\)
\(K \leq 1 + 5.15 = 6.15\)
Pour minimiser \(J(K)\), il faut maximiser \(K\) ⇒ \(K_{opt} = 6.15\)
L'optimisation avec contraintes donne \(K_{opt} = 6.15\), permettant de respecter la limite de dépassement (25%) tout en minimisant la fonction objectif.
• Contraintes : Limitent le domaine de recherche
• Optimisation avec contraintes : La solution est sur la frontière
• Compromis : Équilibre entre performance et limitations
Optimisation de la rapidité d'un système asservi : Ajustement des paramètres du correcteur pour minimiser le temps de réponse.
Processus : \(G(s) = \frac{1}{s(s+1)}\), Correcteur : \(C(s) = K_p\)
BF(s) = \(\frac{K_p}{s^2 + s + K_p}\)
Minimiser \(t_{r5\%} = \frac{3}{\delta\omega_0}\) où \(\omega_0 = \sqrt{K_p}\), \(\delta = \frac{1}{2\sqrt{K_p}}\)
Donc \(t_{r5\%} = \frac{3}{\frac{1}{2\sqrt{K_p}} \cdot \sqrt{K_p}} = 6\sqrt{K_p}\)
Par Routh-Hurwitz : \(1 > 0\) et \(K_p > 0\) ⇒ \(K_p > 0\)
Contrainte de stabilité relative : \(GM \geq 6\) dB et \(PM \geq 30°\)
\(J(K_p) = 6\sqrt{K_p}\) est croissante avec \(K_p\)
Pour minimiser la rapidité, il faudrait \(K_p \to 0\), mais cela rendrait le système lent
Optimisation avec contrainte de précision : \(e_{ss} = \frac{1}{1+K_p} \leq 0.1\)
\(\frac{1}{1+K_p} \leq 0.1\) ⇒ \(1 \leq 0.1(1+K_p)\) ⇒ \(1 \leq 0.1 + 0.1K_p\) ⇒ \(0.9 \leq 0.1K_p\)
\(K_p \geq 9\)
Donc \(K_{p,opt} = 9\) pour respecter la précision
\(t_{r5\%} = 6\sqrt{9} = 18\) s (trop lent)
\(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s}\) avec \(K_p = 2\), \(K_i = 1\)
BF(s) = \(\frac{s+1}{s^3 + s^2 + 2s + 1}\)
Nouvelle solution : \(t_{r5\%} = 2.5\) s, \(e_{ss} = 0\)
L'utilisation d'un correcteur PI permet d'atteindre une rapidité optimale de \(t_{r5\%} = 2.5\) s avec une précision parfaite (\(e_{ss} = 0\%\)).
• Correcteur P : \(C(s) = K_p\) (rapide mais erreur permanente)
• Correcteur PI : Ajoute intégration (précision mais complexité)
• Compromis : Rapidité vs Précision vs Stabilité
Optimisation d'un correcteur PID : Ajustement des paramètres \(K_p\), \(K_i\), \(K_d\) pour minimiser une fonction d'erreur.
Minimiser \(J = \int_0^T (e(t))^2 dt\) (intégrale du carré de l'erreur)
Avec \(e(t) = r(t) - y(t)\) (erreur de suivi)
\(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s}\)
Variables de décision : \(K_p\), \(K_i\), \(K_d\)
1. Trouver le gain ultime \(K_u\) et la période ultime \(P_u\)
2. Appliquer les règles : \(K_p = 0.6K_u\), \(K_i = \frac{1.2K_u}{P_u}\), \(K_d = \frac{0.075K_u P_u}{1}\)
Pour \(G(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+2)}\), on trouve \(K_u = 6\), \(P_u = 3.63\) s
\(K_p = 0.6 \times 6 = 3.6\)
\(K_i = \frac{1.2 \times 6}{3.63} = 1.98\)
\(K_d = 0.075 \times 6 \times 3.63 = 1.63\)
Simulation du système bouclé avec ces paramètres
Résultats : \(t_{r5\%} = 1.8\) s, \(D\% = 20\%\), \(e_{ss} = 0\%\)
Fonction objectif : \(J = \int_0^{10} (e(t))^2 dt = 0.45\)
Ajustement manuel pour améliorer les performances
Nouveau réglage : \(K_p = 4.0\), \(K_i = 2.2\), \(K_d = 1.5\)
Résultats améliorés : \(t_{r5\%} = 1.5\) s, \(D\% = 15\%\), \(J = 0.38\)
Le réglage optimisé du correcteur PID avec \(K_p = 4.0\), \(K_i = 2.2\), \(K_d = 1.5\) minimise la fonction d'erreur à \(J = 0.38\) tout en assurant de bonnes performances.
• Correcteur PID : \(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s\)
• Méthode de Ziegler-Nichols : Règles empiriques de réglage
• Fonction objectif : ISE (Intégral Square Error)
- Identification : Définir la fonction objectif et les variables de décision
- Modélisation : Exprimer le problème mathématiquement
- Analyse : Étudier la nature du problème (convexe, linéaire, non-linéaire)
- Choix de la méthode : Sélectionner l'approche appropriée
- Résolution : Appliquer la méthode d'optimisation
- Validation : Vérifier que la solution respecte les contraintes
- Un problème d'optimisation sans contraintes a une solution aux points critiques
- Les contraintes peuvent modifier la solution optimale
- La convexité garantit l'unicité de l'optimum global
- Les méthodes numériques sont souvent nécessaires pour les problèmes complexes
- La validation de la solution est essentielle dans les applications réelles
- Linéaire : Fonction objectif et contraintes linéaires
- Non-linéaire : Fonction objectif ou contraintes non-linéaires
- Avec contraintes : Problèmes avec limitations
- Sans contraintes : Problèmes libres
- Multi-objectifs : Plusieurs critères à optimiser simultanément
- L'optimisation simple consiste à trouver le minimum ou maximum d'une fonction
- Elle implique souvent un compromis entre plusieurs critères
- Les contraintes jouent un rôle crucial dans la solution finale
- Les méthodes analytiques et numériques sont toutes deux utilisées
- La validation de la solution est essentielle pour les applications réelles
