Contrainte normale en traction : \( \sigma = \frac{F}{S} \) (Pa)
Déformation linéaire : \( \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \)
Loi de Hooke : \( \sigma = E \cdot \varepsilon \) (Pa)
- Identifier la force de traction appliquée
- Calculer la section droite de la pièce
- Appliquer la formule de la contrainte normale
- Vérifier que la contrainte est inférieure à la limite élastique
Câble en acier de diamètre d = 8 mm
Charge suspendue m = 200 kg
g = 9.81 m/s²
Force F = m × g = 200 × 9.81 = 1962 N
Rayon r = d/2 = 8/2 = 4 mm = 4×10⁻³ m
Section S = π × r² = π × (4×10⁻³)² = π × 16×10⁻⁶ = 5.03×10⁻⁵ m²
Contrainte σ = F/S = 1962 / (5.03×10⁻⁵) = 39.0×10⁶ Pa = 39.0 MPa
Pour l'acier doux, Re = 250 MPa
σ = 39.0 MPa < Re = 250 MPa → Câble en sécurité
Coefficient de sécurité = Re/σ = 250/39.0 = 6.4
Le câble en acier supporte la charge de 200 kg avec une contrainte de 39.0 MPa, ce qui est bien inférieur à la limite élastique de 250 MPa, assurant une sécurité suffisante.
• Calcul de contrainte : σ = F/S, toujours en unités cohérentes
• Sécurité : La contrainte doit rester inférieure à la limite élastique
• Coefficient de sécurité : Ratio entre résistance et contrainte effective
Contrainte normale en compression : \( \sigma = \frac{F}{S} \) (toujours positive)
Flambement : Instabilité d'une poutre comprimée
Colonne rectangulaire : largeur l = 10 cm, hauteur h = 20 cm
Hauteur de la colonne L = 3 m
Charge verticale P = 50 kN
Section S = l × h = 0.1 × 0.2 = 0.02 m²
Contrainte σ = P/S = 50,000 / 0.02 = 2.5×10⁶ Pa = 2.5 MPa
Pour une colonne bi-articulée : \( P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2} \)
Moment quadratique I = bh³/12 = 0.1 × (0.2)³/12 = 6.67×10⁻⁵ m⁴
Pour l'acier, E = 200 GPa = 200×10⁹ Pa
\( P_{cr} = \frac{\pi^2 \times 200×10^9 \times 6.67×10^{-5}}{3^2} = 14.6 \text{ MN} \)
Contrainte de compression : 2.5 MPa
Charge critique de flambement : 14.6 MN >> 50 kN
→ Risque de flambement négligeable
La colonne supporte la charge de 50 kN avec une contrainte de compression de 2.5 MPa, bien inférieure à la limite élastique de l'acier, et le risque de flambement est négligeable vu la charge critique de 14.6 MN.
• Compression : Calcul de contrainte similaire à la traction
• Flambement : Critère de stabilité pour les pièces comprimées élancées
• Épaisseur : Augmente la résistance au flambement proportionnellement au cube
Contrainte de cisaillement : \( \tau = \frac{F}{S} \) (Pa)
Contrainte tangentielle : Agissant parallèlement à la section droite
Rivet cylindrique de diamètre d = 12 mm
Force de cisaillement F = 15 kN
Le rivet est en double cisaillement
Dans le double cisaillement, la force est répartie sur 2 sections droites
Force par section : F_section = F_total / 2 = 15,000 / 2 = 7,500 N
Rayon r = d/2 = 12/2 = 6 mm = 6×10⁻³ m
Section S = π × r² = π × (6×10⁻³)² = π × 36×10⁻⁶ = 1.13×10⁻⁴ m²
Contrainte τ = F_section / S = 7,500 / (1.13×10⁻⁴) = 66.4×10⁶ Pa = 66.4 MPa
Pour l'acier, la résistance au cisaillement est environ 60% de la résistance en traction
Soit τ_admissible ≈ 0.6 × 250 = 150 MPa
τ = 66.4 MPa < τ_admissible = 150 MPa → Rivet en sécurité
Le rivet en double cisaillement supporte la force de 15 kN avec une contrainte de cisaillement de 66.4 MPa, ce qui est inférieur à la contrainte admissible de 150 MPa, assurant une sécurité suffisante.
• Cisaillement simple : Force répartie sur une section
• Cisaillement double : Force répartie sur deux sections
• Résistance au cisaillement : Généralement 60% de la résistance en traction
Moment de torsion : Couple de rotation appliqué à un arbre
Contrainte de torsion : \( \tau_{max} = \frac{M_t \cdot r}{I_G} \) (Pa)
Moment quadratique polaire : \( I_G = \frac{\pi \cdot d^4}{32} \) (m⁴)
Arbre cylindrique creux : diamètre extérieur D = 60 mm, diamètre intérieur d = 40 mm
Couple transmis Mt = 800 N·m
Pour un tube creux : \( I_G = \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{32} \)
\( I_G = \frac{\pi \cdot ((0.06)^4 - (0.04)^4)}{32} = \frac{\pi \cdot (1.296×10^{-6} - 2.56×10^{-7})}{32} \)
\( I_G = \frac{\pi \cdot 1.04×10^{-6}}{32} = 1.02×10^{-7} \text{ m}^4 \)
Rayon extérieur r = D/2 = 0.06/2 = 0.03 m
\( \tau_{max} = \frac{M_t \cdot r}{I_G} = \frac{800 \times 0.03}{1.02×10^{-7}} = 235.3×10^6 \text{ Pa} = 235.3 \text{ MPa} \)
Pour l'acier, la contrainte admissible en torsion est environ 50% de la limite élastique
Soit τ_admissible ≈ 0.5 × 250 = 125 MPa
τ_max = 235.3 MPa > τ_admissible = 125 MPa → Arbre non sécuritaire
Pour respecter la contrainte admissible : \( I_G \geq \frac{M_t \cdot r}{\tau_{admissible}} \)
\( I_G \geq \frac{800 \times 0.03}{125×10^6} = 1.92×10^{-7} \text{ m}^4 \)
Il faut soit augmenter les dimensions, soit utiliser un matériau plus résistant
L'arbre creux actuel ne supporte pas le couple de 800 N·m car la contrainte de torsion maximale de 235.3 MPa dépasse la contrainte admissible de 125 MPa. Il faut modifier les dimensions ou le matériau.
• Torsion : La contrainte est maximale à la périphérie
• Tube creux : Plus efficace que section pleine pour la torsion
• Dimensionnement : Respecter la contrainte admissible avec marge de sécurité
Moment fléchissant : \( M_f = F \cdot L \) (N·m) pour charge concentrée en bout
Contrainte de flexion : \( \sigma_{max} = \frac{M_f \cdot y_{max}}{I_G} \) (Pa)
Moment quadratique : \( I_G = \frac{bh^3}{12} \) pour section rectangulaire
Poutre rectangulaire encastrée : largeur b = 50 mm, hauteur h = 100 mm
Longueur L = 2 m
Charge en bout F = 1000 N
Pour une poutre encastrée avec charge en bout : \( M_{f,max} = F \cdot L \)
\( M_{f,max} = 1000 \times 2 = 2000 \text{ N·m} \)
\( I_G = \frac{bh^3}{12} = \frac{0.05 \times (0.1)^3}{12} = \frac{0.05 \times 0.001}{12} = 4.17×10^{-6} \text{ m}^4 \)
Distance maximale à la fibre neutre : \( y_{max} = h/2 = 0.1/2 = 0.05 \text{ m} \)
\( \sigma_{max} = \frac{M_f \cdot y_{max}}{I_G} = \frac{2000 \times 0.05}{4.17×10^{-6}} = 24.0×10^6 \text{ Pa} = 24.0 \text{ MPa} \)
Pour l'acier, Re = 250 MPa
σ_max = 24.0 MPa < Re = 250 MPa → Poutre en sécurité
Coefficient de sécurité = Re/σ_max = 250/24.0 = 10.4
Flèche maximale pour poutre encastrée : \( f_{max} = \frac{FL^3}{3EI} \)
Avec E = 200 GPa = 200×10⁹ Pa
\( f_{max} = \frac{1000 \times 2^3}{3 \times 200×10^9 \times 4.17×10^{-6}} = \frac{8000}{2.5×10^6} = 3.2×10^{-3} \text{ m} = 3.2 \text{ mm} \)
Flèche max : 3.2 mm
La poutre encastrée supporte la charge de 1000 N avec une contrainte de flexion maximale de 24.0 MPa, bien inférieure à la limite élastique de 250 MPa, et une flèche maximale de 3.2 mm, assurant une sécurité suffisante.
• Flexion : La contrainte est maximale aux fibres extrêmes
• Poutre encastrée : Moment fléchissant maximal à l'encastrement
• Déformation : Important pour les critères de rigidité
- Identification des charges : Localiser et quantifier toutes les forces
- Détermination des sollicitations : Traction, compression, cisaillement, etc.
- Calcul des contraintes : Appliquer les formules appropriées
- Vérification de sécurité : Comparer à la contrainte admissible
- Analyse des déformations : Si critère de rigidité requis
- La contrainte est le rapport de la force à la surface de la section droite
- La déformation est proportionnelle à la contrainte dans la zone élastique (Hooke)
- Le module d'élasticité E est une propriété intrinsèque du matériau
- La concentration de contraintes se produit aux changements de section
- Les sollicitations combinées nécessitent une analyse de contrainte composée
