Loi de distribution : \(A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A \cdot (B + \overline{B})\)
- Identifier le facteur commun dans les termes
- Appliquer la loi de distribution
- Utiliser la loi du complément : \(B + \overline{B} = 1\)
- Appliquer la loi d'identité : \(A \cdot 1 = A\)
\(S = A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A \cdot (B + \overline{B})\)
\(B + \overline{B} = 1\) (une variable et son complément donnent toujours 1)
\(S = A \cdot 1 = A\)
\(S = A\)
• Loi de distribution : \(A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C)\)
• Loi du complément : \(X + \overline{X} = 1\)
• Loi d'identité : \(A \cdot 1 = A\)
Tableau de Karnaugh : Grille permettant de visualiser les mintermes et de former des groupements adjacents
Les cases 1, 2, 5, 6 correspondent aux mintermes indiqués
On peut grouper les 1 adjacents :
- Groupe vertical : cases (1,5) → \(\overline{A} \cdot C\)
- Groupe vertical : cases (2,6) → \(A \cdot \overline{C}\)
Chaque groupe correspond à un terme de la somme :
\(S = \overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{C}\)
\(S = \overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{C}\)
• Construction Karnaugh : Organiser les cases selon le code Gray
• Groupements : Former des rectangles de 2, 4 ou 8 cases adjacentes
• Variables éliminées : Dans un groupe, les variables qui changent sont éliminées
Théorème de consensus : \(A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C\)
Dans l'expression \(S = A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C\), le terme \(B \cdot C\) est le terme de consensus.
Le terme de consensus peut être supprimé sans changer la valeur de la fonction :
\(S = A \cdot B + \overline{A} \cdot C\)
| A | B | C | AB | \(\overline{A}C\) | BC | Origine | Simplifié |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
\(S = A \cdot B + \overline{A} \cdot C\)
• Théorème de consensus : \(A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C\)
• Termes redondants : Certains termes peuvent être supprimés sans changer la fonction
• Vérification : Utiliser une table de vérité pour confirmer la simplification
Minterme : Produit de toutes les variables (ou leurs compléments) dans une expression logique
L'expression contient 4 mintermes :
- \(\overline{A} \cdot B \cdot C\) (minterme 3)
- \(A \cdot \overline{B} \cdot C\) (minterme 5)
- \(A \cdot B \cdot \overline{C}\) (minterme 6)
- \(A \cdot B \cdot C\) (minterme 7)
Regroupons les termes contenant C : \(\overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot C\)
Factorisons C : \(C \cdot (\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B})\)
On peut aussi regrouper \(A \cdot B \cdot \overline{C} + A \cdot B \cdot C\)
Factorisons \(A \cdot B\) : \(A \cdot B \cdot (\overline{C} + C) = A \cdot B \cdot 1 = A \cdot B\)
\(\overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot C = C \cdot (\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B})\)
\(\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B}\) est la fonction XOR, mais ici on peut simplifier davantage
\(\overline{A} \cdot B \cdot C + A \cdot \overline{B} \cdot C + A \cdot B \cdot C = C \cdot (\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{B} + A \cdot B)\)
\(= C \cdot (\overline{A} \cdot B + A \cdot (\overline{B} + B)) = C \cdot (\overline{A} \cdot B + A \cdot 1) = C \cdot (\overline{A} \cdot B + A)\)
\(= C \cdot (A + B)\) (en utilisant la loi d'absorption)
\(S = A \cdot C + B \cdot C + A \cdot B\)
• Regroupement de termes : Regrouper les termes ayant des variables communes
• Factorisation : Extraire les facteurs communs
• Loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\)
Lois de De Morgan : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) et \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
\(\overline{A \cdot B + \overline{C}}\) est de la forme \(\overline{X + Y}\) où \(X = A \cdot B\) et \(Y = \overline{C}\)
\(\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}\)
Donc \(\overline{A \cdot B + \overline{C}} = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{\overline{C}}\)
\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
\(\overline{\overline{C}} = C\) (loi de l'involution)
\(\overline{A \cdot B + \overline{C}} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot C\)
\(\overline{A \cdot B + \overline{C}} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot C\)
• Loi de De Morgan (1er) : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
• Loi de De Morgan (2ème) : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
• Loi de l'involution : \(\overline{\overline{X}} = X\)
- Loi d'identité : \(A + 0 = A\), \(A \cdot 1 = A\)
- Loi de complément : \(A + \overline{A} = 1\), \(A \cdot \overline{A} = 0\)
- Loi d'idempotence : \(A + A = A\), \(A \cdot A = A\)
- Loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\), \(A \cdot (A + B) = A\)
- Loi de consensus : \(A \cdot B + \overline{A} \cdot C + B \cdot C = A \cdot B + \overline{A} \cdot C\)
- Lois de De Morgan : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\), \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
- La simplification conserve la fonction logique originale
- Le tableau de Karnaugh est particulièrement efficace pour 2 à 4 variables
- Les groupements doivent être rectangulaires et contenir 1, 2, 4, 8... cases
- Chaque groupe correspond à un produit de variables (ou compléments)
- Un même minterme peut appartenir à plusieurs groupes
