Statistique descriptive : Ensemble de méthodes pour résumer et analyser un ensemble de mesures expérimentales
- Calcul de la moyenne
- Détermination de l'écart-type
- Calcul de l'incertitude type
- Identification des valeurs aberrantes
- Évaluation de la précision
Température mesurée (°C) : 20.1, 20.3, 19.9, 20.2, 20.0, 20.4, 19.8, 20.1
\(\bar{x} = \frac{20.1 + 20.3 + 19.9 + 20.2 + 20.0 + 20.4 + 19.8 + 20.1}{8}\)
\(\bar{x} = \frac{160.8}{8} = 20.1\) °C
\(\sigma = \sqrt{\frac{(20.1-20.1)^2 + (20.3-20.1)^2 + ... + (20.1-20.1)^2}{8}}\)
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.00 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.00}{8}}\)
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.28}{8}} = \sqrt{0.035} = 0.19\) °C
\(u = \frac{0.19}{\sqrt{8}} = \frac{0.19}{2.83} = 0.067\) °C
\(T = (20.10 \pm 0.07)\) °C
avec un niveau de confiance de 68%
La température moyenne est de 20.10°C avec un écart-type de 0.19°C et une incertitude de 0.07°C. Le résultat s'exprime comme \(T = (20.10 \pm 0.07)\) °C.
• Précision : Respecter le nombre de chiffres significatifs
• Incertitude : Toujours exprimer avec un seul chiffre significatif
• Moyenne : Représente la valeur la plus probable
Graphique avec barres d'erreur : Représentation visuelle des données expérimentales avec indication des incertitudes
- Choix des axes appropriés
- Échelle adaptée
- Placement des points
- Ajout des barres d'erreur
- Légende et titre clairs
Tableau avec x, y, u(x), u(y) pour chaque point
Exemple : (1.0±0.1, 2.2±0.2), (2.0±0.1, 4.1±0.3), (3.0±0.1, 6.3±0.2)
Choisir des échelles lisibles (multiples de 1, 2, 5)
Utiliser 60-80% de la surface disponible
Placer chaque point à la position (x, y)
Ajouter des barres d'erreur verticales et horizontales
Observer la tendance des données
Identifier les éventuelles anomalies
• Titre explicite et complet
• Axes nommés avec unités
• Échelle lisible
• Barres d'erreur visibles
• Légende si plusieurs séries
Un graphique avec incertitudes doit comporter des axes bien nommés, des échelles adaptées, des points avec barres d'erreur, et un titre explicite. Cela permet de visualiser la dispersion des données.
• Clarté : Le graphique doit être lisible sans ambiguïté
• Précision : Les barres d'erreur doivent représenter les incertitudes
• Interprétation : Faciliter la compréhension des tendances
Incertitude de mesure : Estimation de l'erreur possible dans une mesure expérimentale
- Incertitude de type A (statistique)
- Incertitude de type B (instrumentale)
- Propagation des incertitudes
- Combinaison quadratique
Incertitude de lecture : dépend de la résolution de l'appareil
Incertitude aléatoire : fluctuations dans les mesures
Pour n mesures : \(u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}\) où s est l'écart-type expérimental
Exemple : 10 mesures de longueur avec s = 0.2 mm
Alors \(u_A = \frac{0.2}{\sqrt{10}} = 0.06\) mm
Pour un pied à coulisse avec résolution de 0.01 mm :
\(u_B = \frac{0.01}{2\sqrt{3}} = 0.003\) mm
\(u_c = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}\)
\(u_c = \sqrt{0.06^2 + 0.003^2} = \sqrt{0.0036 + 0.00001} = 0.06\) mm
• Somme : \(f = x + y \Rightarrow u_f^2 = u_x^2 + u_y^2\)
• Produit : \(f = xy \Rightarrow \left(\frac{u_f}{f}\right)^2 = \left(\frac{u_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{u_y}{y}\right)^2\)
• Puissance : \(f = x^n \Rightarrow \frac{u_f}{f} = n\frac{u_x}{x}\)
L'incertitude combinée s'obtient par combinaison quadratique des incertitudes de type A et B. Pour une mesure de 5.23±0.06 mm, l'incertitude est de 0.06 mm.
• Combinaison : Toujours utiliser la combinaison quadratique
• Propagation : Appliquer les formules de dérivation partielle
• Expression : Donner l'incertitude avec un seul chiffre significatif
Modélisation : Recherche d'une relation mathématique entre les variables expérimentales
- Représentation graphique des données
- Identification de la tendance
- Ajustement par une fonction théorique
- Calcul du coefficient de corrélation
- Validation du modèle
Relation entre pression P et volume V : PV = constante
Ou P = k/V, donc une relation hyperbolique
Tracer la grandeur mesurée en fonction de la variable contrôlée
Identifier la forme de la courbe (linéaire, exponentielle, etc.)
Transformer les variables pour obtenir une relation linéaire
Exemple : Pour y = ax², tracer y en fonction de x²
Utiliser la méthode des moindres carrés : y = ax + b
Déterminer les coefficients a et b avec leurs incertitudes
Calculer le coefficient de corrélation R²
Plus R² est proche de 1, meilleure est la qualité de l'ajustement
• R² > 0.95 pour un bon ajustement
• Points répartis aléatoirement autour de la droite
• Absence de tendance systématique
• Résidus distribués normalement
La modélisation consiste à trouver une relation mathématique entre les variables. On ajuste les données expérimentales par une fonction théorique et on valide le modèle avec R².
• Linéarisation : Chercher à obtenir une relation linéaire si possible
• Ajustement : Utiliser la méthode des moindres carrés
• Validation : Vérifier la qualité de l'ajustement avec R²
Interprétation : Analyse critique des résultats expérimentaux et confrontation avec la théorie
- Confrontation avec la théorie
- Évaluation des écarts
- Identification des sources d'erreur
- Discussion de la validité
- Conclusion argumentée
Comparer la valeur expérimentale avec la valeur théorique
Exemple : g_exp = (9.78 ± 0.05) m/s² vs g_theo = 9.81 m/s²
\(\text{Écart relatif} = \frac{|g_{exp} - g_{theo}|}{g_{theo}} \times 100\%\)
\(\text{Écart relatif} = \frac{|9.78 - 9.81|}{9.81} \times 100\% = 0.3\%\)
L'écart relatif (0.3%) est inférieur à l'incertitude relative (0.5%)
Les résultats sont cohérents avec la théorie
Erreurs aléatoires : fluctuations de mesure
Erreurs systématiques : calibration incorrecte, frottements
• Lecture : Parallaxe, résolution de l'appareil
• Environnement : Température, humidité, vibrations
• Méthode : Hypothèses simplificatrices
• Appareil : Étalonnage, dérive
L'interprétation consiste à comparer les résultats expérimentaux avec la théorie, évaluer les écarts, identifier les sources d'erreur et conclure sur la validité de l'expérience.
• Confrontation : Toujours comparer avec les prédictions théoriques
• Évaluation : Considérer les incertitudes dans la comparaison
• Criticalité : Identifier les causes possibles des écarts
- Statistique descriptive : Moyenne, médiane, écart-type
- Représentation graphique : Nuages de points, droites d'ajustement
- Propagation des incertitudes : Combinaison quadratique
- Modélisation : Ajustement linéaire, exponentiel, polynomial
- Exprimer les résultats avec le bon nombre de chiffres significatifs
- Toujours associer une incertitude à chaque mesure
- Représenter graphiquement les données avec barres d'erreur
- Valider les modèles avec des critères statistiques
- Identifier et discuter les sources d'erreur
- Confronter les résultats à la théorie
Pour f = f(x, y) : \(u_f = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}u_x)^2 + (\frac{\partial f}{\partial y}u_y)^2}\)
Exemple : f = x/y → \(\frac{u_f}{f} = \sqrt{(\frac{u_x}{x})^2 + (\frac{u_y}{y})^2}\)
