Vitesse limite : Lorsque la force de frottement fluide équilibre exactement le poids, l'accélération devient nulle et la vitesse devient constante.
- Identifier les forces en présence
- Appliquer la condition d'équilibre à la vitesse limite
- Calculer la force de frottement
Deux forces agissent sur le parachutiste :
- Le poids : \(\vec{P} = m\vec{g}\)
- La force de frottement fluide : \(\vec{F}_f\)
À la vitesse limite, le parachutiste est en équilibre dynamique :
\(\vec{F}_f + \vec{P} = \vec{0}\), donc \(\vec{F}_f = -\vec{P}\)
\(P = mg = 70 \times 9.81 = 686.7\) N
\(F_f = P = 686.7\) N, dirigée vers le haut
La force de frottement fluide est de 686.7 newtons, équilibrant exactement le poids du parachutiste.
• Équilibre : À la vitesse limite, ΣF⃗ = 0⃗
• Direction : La force de frottement s'oppose au mouvement
• Intensité : La force de frottement augmente avec la vitesse
Choc élastique : Choc durant lequel l'énergie cinétique totale et la quantité de mouvement sont conservées.
Pour un choc élastique en 1D :
Conservation de la quantité de mouvement : \(m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'\)
Conservation de l'énergie cinétique : \(\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2\)
Avant le choc : \(m_1 = m_2 = 0.2\) kg, \(v_1 = 3\) m/s, \(v_2 = 0\) m/s
Quand \(m_1 = m_2\), les équations donnent :
\(v_1 + v_2 = v_1' + v_2'\) et \(v_1^2 + v_2^2 = v_1'^2 + v_2'^2\)
Avec \(v_2 = 0\) :
\(3 = v_1' + v_2'\) et \(9 = v_1'^2 + v_2'^2\)
Résultat : \(v_1' = 0\) m/s et \(v_2' = 3\) m/s
Après le choc élastique, la première bille est immobile et la seconde se déplace à 3 m/s.
• Conservation : Quantité de mouvement et énergie cinétique sont conservées
• Masses égales : Dans un choc élastique de masses égales, les vitesses sont échangées
• Élasticité : Pas de perte d'énergie mécanique
Théorème de l'énergie cinétique : La variation d'énergie cinétique est égale au travail des forces extérieures : \(\Delta E_c = W_{ext}\).
Masse de la voiture : m = 1000 kg, Vitesse initiale : v₀ = 20 m/s, Force de freinage : F = 5000 N
\(\Delta E_c = W_{frottement}\)
\(\frac{1}{2}mv_{final}^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -Fd\)
\(0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -Fd\)
\(\frac{1}{2}mv_0^2 = Fd\)
\(d = \frac{mv_0^2}{2F}\)
\(d = \frac{1000 \times 20^2}{2 \times 5000} = \frac{1000 \times 400}{10000} = \frac{400000}{10000} = 40\) m
La voiture s'arrête sur une distance de 40 mètres sous l'effet de la force de frottement.
• Travail : W = Fd (force constante)
• Énergie cinétique : E_c = ½mv²
• Force opposée : La force de frottement s'oppose au mouvement (signe négatif)
Chute avec frottement fluide : L'équation du mouvement est \(m\frac{dv}{dt} = mg - kv\), menant à une vitesse qui tend exponentiellement vers la vitesse limite.
\(m\frac{dv}{dt} = mg - kv\) où k est le coefficient de frottement
La solution est : \(v(t) = \frac{mg}{k}(1 - e^{-\frac{k}{m}t})\)
Quand t → ∞ : \(v_{lim} = \frac{mg}{k}\)
La vitesse croît exponentiellement de 0 vers v_l, avec une constante de temps τ = m/k.
Initialement, l'accélération est g (comme en chute libre), puis diminue jusqu'à zéro à la vitesse limite.
Le graphique montre une croissance exponentielle de la vitesse vers la vitesse limite, illustrant l'effet des frottements fluides.
• Équation différentielle : Premier ordre linéaire
• Vitesse limite : Atteinte asymptotiquement
• Constante de temps : Caractérise la rapidité d'atteinte de la vitesse limite
Vitesse du centre de masse : \(\vec{v}_{CM} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}\). Le centre de masse se déplace comme si toute la masse était concentrée en ce point.
Objet 1 : m₁ = 2 kg, v₁ = +4 m/s (dans un sens)
Objet 2 : m₂ = 3 kg, v₂ = -2 m/s (dans l'autre sens)
\(\vec{v}_{CM} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}\)
\(v_{CM} = \frac{2 \times 4 + 3 \times (-2)}{2 + 3} = \frac{8 - 6}{5} = \frac{2}{5}\)
\(v_{CM} = 0.4\) m/s
Le centre de masse se déplace à 0.4 m/s dans le sens de la vitesse positive (celle de l'objet 1).
La vitesse du centre de masse du système est de 0.4 m/s dans le sens de la vitesse de l'objet 1.
• Quantité de mouvement : Le centre de masse conserve la quantité de mouvement totale
• Repère : Il faut choisir un sens positif pour les vitesses
• Centre de masse : Point qui se déplace comme un objet unique de masse totale
- Parachute : Équilibre des forces à la vitesse limite : F_f = P
- Choc élastique : Conservation de p⃗ et E_c
- Frottements : Utiliser F_f = -kv ou F_f = -kv² selon le régime
- Centre de masse : \(\vec{v}_{CM} = \frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i}\)
- La force de frottement fluide s'oppose toujours au mouvement
- À la vitesse limite, l'accélération est nulle
- Dans un choc élastique, l'énergie cinétique est conservée
- Dans tout choc, la quantité de mouvement est conservée
- Le centre de masse d'un système isolé se déplace à vitesse constante
